如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC， BC上的点，且满足AE=FC=CP=1．将△AEF沿EF折起

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如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，
BC上的点，且满足AE=FC=CP=1．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连接A1B，A1P（如图2）．
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．


（Ⅰ）证明：取BE中点D，连接DF．
因为AE=CF=1，DE=1，所以AF=AD=2，
而∠A=60°，即△ADF是正三角形，
又因为AE=ED=1，所以EF⊥AD，
所以在图2中A1E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE，
又BE∩EF=E
∴A1E⊥平面BEF，
∴A1E⊥平面BEP。

（Ⅱ）在图2中，A1E不垂直A1B，
∴A1E是平面A1BP的垂线，又A1E⊥平面BEP，
∴A1E⊥BE．
从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）
设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q．
在△EBP中，BE=EP=2而∠EBP=60°，∴△EBP是等边三角形．
又A1E⊥平面BEP，∴A1B=A1P，
∴Q为BP的中点，且EQ=√3
，又A1E=1，在Rt△A1EQ中，tan∠EA1Q=EQ/A1E=√3，
∴∠EA1Q=60°，
∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60°．

（1）证明：∵CF=CP=x，CA=CB，∴PF∥BE∵PF?平面A1BE，BE?平面A1BE∴PF∥平面A1EB；（2）解：若EF⊥平面A1EB，则EF⊥AE，∠AEF=90°∵∠EAF=60°，∴AEAF＝cos60°∴2x5?x＝12，∴x=1（3）解：∵二面角A1-EF-B的大小为π2，且EF⊥平面A1EB，∴EF⊥BE，A1E⊥EF，平面A1EF∩平面BEF=EF∴A1E⊥平面BEF∵BE?平面BEF∴A1E⊥BE∴EF，BE，A1E两两互相垂直以E为原点，建立空间直角坐标系，则由已知得，BE=1，A1E=2，PF=FC=PC=1，EF=23∴E（0，0，0），A1（0，0，2），B（3，0，0），P（1，23，0），F（0，23，0）∴A1B＝(1，0，?2)，BP＝(?2，23，0)∴BE＝(?3，0，0)是

证明：（Ⅰ）取A₁E中点M，连接QM，MF．
在△A₁BE中，Q，M分别为A₁B，A₁E的中点，
所以QM∥BE，且QM＝

1

2

BE．
因为

CF

FA

＝

CP

PB

＝

1

2

，
所以PF∥BE，且PF＝

1

2

BE，
所以QM∥PF，且QM=PF．
所以四边形PQMF为平行四边形．
所以PQ∥FM．                                                …（5分）
又因为FM?平面A₁EF，且PQ?平面A₁EF，
所以PQ∥平面A₁EF．                                           …（7分）
（Ⅱ） 取BE中点D，连接DF．
因为AE=CF=1，DE=1，
所以AF=AD=2，而∠A=60°，即△ADF是正三角形．
又因为AE=ED=1，所以EF⊥AD．
所以在图2中有A₁E⊥EF．…（9分）
因为平面A₁EF⊥平面EFB，平面A₁EF∩平面EFB=EF，
所以A₁E⊥平面BEF．…（12分）
又EP?平面BEF，
所以A₁E⊥EP．…（14分）

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