数学悖论与三次数学危机

陈基耿

摘要：数学发展从来不是完全直线式的，而是常常出现悖论。

历史上一连串的

数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。

数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。

危机产生、解决、又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。

关键词：数学悖论；数学危机；毕达哥拉斯悖论；贝克莱悖论；罗素悖论

数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展史，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。

悖论是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式[1]。

数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为它直接导致了人们对于相应理论的怀疑，而如果一个悖论所涉及的面十分广泛的话，甚至涉及到整个学科的基础时，这种怀疑情绪又可能发展成为普遍的危机感，特别是一些重要悖论的产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。

数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个典型的数学悖论引起的。

本文回顾了历史上发生的三次数学危机，重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。

1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机

1.1第一次数学危机的内容

公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐[2]。

他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的比）， 除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。

毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理[3]，也就是我们所说的勾股定理。

勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系，即a2=b2+c2，a和b分别代表直角三角形的两条直角边，c表示斜边。

然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快便发现了这个论断的问题。

他发现边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或整数之比来表示。

假设正方形边长为1，并设其对角线长为d，依勾股定理应有d2=12+12=2，即d2=2，那么d是多少呢？显然d不是整数，那它必是两整数之比。

希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找着，反而找到了两数不可通约性的证明[4]，用反证法证明如下：设Rt△ABC，两直角边为a=b，则由勾股定理有c2=2a2，设已将a和c中的公约数约去，即a、c已经互素，于是c为偶数，a为奇数，不妨令c=2m，则有(2m)2=2a2，a2=2m2，于是a为偶数，这与前面已证a为奇数矛盾。

这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。

1.2第一次数学危机的影响

毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，历史上称之为第一次数学危机。

第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。

首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论[5]，为数学分析的发展奠定了基础。

再者，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。

欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在这时候应运而生的[6]。

第一次数学危机极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。

2贝克莱悖论与第二次数学危机

2.1第二次数学危机的内容

公元17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，微积分能提示和解释许多自然现象，它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视。

然而，因为微积分才刚刚建立起来，这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能自圆其说。

例如牛顿当时是这样求函数y＝xn的导数的[7]：（x＋△x）n＝xn＋n•xn-1•△x＋[n（n+1）/2]•xn-2•(△x)2＋……＋（△x）n，然后用自变量的增量△x除以函数的增量△y ，△y/△x＝[（x＋△x）n－xn ]/△x＝n•xn-1＋[n（n-1）/2] •xn-2•△x＋……＋n•x•（△x）n-2＋（△x）n-1，最后，扔掉其中含有无穷小量△x的项，即得函数y=xn的导数为y′=nxn-1。

对于牛顿对导数求导过程的论述，哲学家贝克莱很快发现了其中的问题，他一针见血的指出：先用△x为除数除以△y，说明△x不等于零，而后又扔掉含有△x的项，则又说明△x等于零，这岂不是自相矛盾吗？因此贝克莱嘲弄无穷小是“逝去的量的鬼魂”，他认为微积分是依靠双重的错误得到了正确的结果，说微积分的推导是“分明的诡辩”。

[8]这就是著名的“贝克莱悖论”。

确实，这种在同一问题的讨论中，将所谓的无穷小量有时作为0，有时又异于0的做法，不得不让人怀疑。

无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多世纪的论战，从而形成了数学发展史中的第二次危机。

2.2第二次数学危机的影响[8]

第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量△x，为了克服由此引起思维上的混乱，解决这一危机，无数人投入大量的劳动。

在初期，经过欧拉、拉格朗日等人的努力,微积分取得了一些进展；从19世纪开始为彻底解决微积分的基础问题，柯西、外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作。

微积分内在的根本矛盾，就是怎样用数学的和逻辑的方法来表现无穷小，从而表现与无穷小紧密相关的微积分的本质。

在解决使无穷小数学化的问题上，出现了罗比达公理：一个量增加或减少与之相比是无穷小的另一个量，则可认为它保持不变。

而柯西采用的ε－δ方法刻画无穷小，把无穷小定义为以0为极限的变量，沿用到今，无穷小被极限代替了。

后来外尔斯特拉斯又把它明确化，给出了极限的严格定义，建立了极限理论，这样就使微积分建立在极限基础之上了。

极限的ε－δ定义就是用静态的ε－δ刻画动态极限，用有 *** 来描述无限性过程，它是从有限到无限的桥梁和路标，它表现了有限与无限的关系，使微积分朝科学化、数学化前进了一大步。

极限理论的建立加速了微积分的发展，它不仅在数学上，而且在认识论上也有重大的意义。

后来在考查极限理论的基础中，经过代德金、康托尔、海涅、外尔斯特拉斯和巴门赫等人的努力，产生了实数理论；在考查实数理论的基础时，康托尔又创立了 *** 论。

这样有了极限理论、实数理论和 *** 论三大理论后，微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了，从而结束了二百多年的纷乱争论局面，进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路。

3罗素悖论与第三次数学危机

3.1第三次数学危机的内容

在前两次数学危机解决后不到30年即19世纪70年代,德国数学家康托尔创立了 *** 论, *** 论是数学上最具革命性的理论,初衷是为整个数学大厦奠定坚实的基础。

1900年，在巴黎召开的国际数学家会议上，法国大数学家庞加莱兴奋的宣布[9]：“我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。”然而，正当人们为 *** 论的诞生而欢欣鼓舞之时,一串串数学悖论却冒了出来，又搅得数学家心里忐忑不安,其中英国数学家罗素1902年提出的悖论影响最大,“罗素悖论”的内容是这样的：设 *** B是一切不以自身为元素的 *** 所组成的 *** ，问：B是否属于B？若B属于B，则B是B的元素，于是B不属于自身，即B不属于B；反之，若B不属于B，则B不是B的元素，于是B属于自己，即B属于B。

这样，利用 *** 的概念，罗素导出了—— *** B不属于B当且仅当 *** B属于B时成立的悖论。

之后，罗素本人还提出了罗素悖论的通俗版本，即理发师悖论[10]。

理发师宣布了这样一条原则：他只为村子里不给自己刮胡子的人刮胡子。

那么现在的问题是，理发师的胡子应该由谁来刮？。

如果他自己给自己刮胡子，那么他就是村子里给自己刮胡子的人，根据他的原则，他就不应给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是村子里不给自己刮胡子的人，那么又按他的原则他就该为自己刮胡子。

同样有产生了这样的悖论：理发师给自己刮胡子当且仅当理发师不给自己刮胡子。

这就是历史上著名的罗素悖论。

罗素悖论的出现，动摇了数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。

3.2第三次数学危机的影响

罗素悖论的出现，动摇了本来作为整个数学大厦的基础—— *** 论，自然引起人们对数学基本结构有效性的怀疑。

罗素悖论的高明之处，还在于它只是用了 *** 的概念本身，而并不涉及其它概念而得出来的，使人们更是无从下手解决。

罗素悖论导致的第三次数学危机，使数学家们面临着极大的困难。

数学家弗雷格在他刚要出版的《论数学基础》卷二末尾就写道[11]：“对一位科学家来说，没有一件比下列事实更令人扫兴：当他工作刚刚完成的时候，它的一块基石崩塌下来了。

在本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信就使我陷入这种境地。”可见第三次数学危机使人们面临多么尴尬的境地。

然而科学面前没有人会回避，数学家们立即投入到了消除悖论的工作中，值得庆幸的是，产生罗素悖论的根源很快被找到了，原来康托尔提出 *** 论时对“ *** ”的概念没有做必要的限制，以至于可以构造“一切 *** 的集体”这种过大的 *** 而产生了悖论。

为了从根本上消除 *** 论中出现的各种悖论，特别是罗素悖论，许多数学家进行了不懈的努力。

如以罗素为主要代表的逻辑主义学派[12]，提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分支理论，这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德国数学家策梅罗提出的 *** 论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制 *** 的概念，从逻辑上保证 *** 的纯粹性，他首次提出了 *** 论公理系统，后经费兰克尔、冯•诺伊曼等人的补充形成了一个完整的 *** 论公理体系（ZFC系统）[5]，在ZFC系统中，“ *** ”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条公理。

ZFC系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列 *** 悖论，第三次数学危机也随之销声匿迹了。

尽管悖论消除了，但数学的确定性却在一步一步丧失，现代公理 *** 论一大堆公理是在很难说孰真孰假，可是又不能把它们一古脑消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的，所以第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续[7]。

为了消除第三次数学危机，数理逻辑也取得了很大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基础理论、类型论和多值逻辑等。

可以说第三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也因此直接造成了数学哲学研究的“黄金时代”。

4结语

历史上的三次数学危机，给人们带来了极大的麻烦，危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷，科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是科学发展源泉之一。

第一次数学危机使人们发现无理数，建立了完整的实数理论，欧氏几何也应运而生并建立了几何公理体系；第二次数学危机的出现，直接导致了极限理论、实数理论和 *** 论三大理论的产生和完善，使微积分建立在稳固且完美的基础之上；第三次数学危机，使 *** 论成为一个完整的 *** 论公理体系（ZFC系统），促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性。

数学发展的历史表明对数学基础的深入研究、悖论的出现和危机的相对解决有着十分密切的关系，每一次危机的消除都会给数学带来许多新内容、新认识，甚至是革命性的变化，使数学体系达到新的和谐，数学理论得到进一步深化和发展。

悖论的存在反映了数学概念、原理在一定历史阶段会存在很多矛盾，导致人们的怀疑，产生危机感，然而事物就是在不断产生矛盾和解决矛盾中逐渐发展完善起来的，旧的矛盾解决了,新的矛盾还会产生，而就是在其过程中，人们便不断积累了新的认识、新的知识，发展了新的理论。

数学家对悖论的研究和解决促进了数学的繁荣和发展，数学中悖论的产生和危机的出现，不单是给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望。

数学中悖论和危机的历史也说明了这一点：已有的悖论和危机消除了，又产生新的悖论和危机。

但是人的认识是发展的，悖论或危机迟早都能获得解决。

“产生悖论和危机，然后努力解决它们，而后又产生新的悖论和危机。”这是一个无穷反复的过程，也就不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。

参考文献：

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[2] 赵院娥,乔淑莉.悖论及其对数学发展的影响[J].延安大学学报(自然科学版),2004,2(1):21～25.

[3] 李春兰.试论数学史上的第一次危机及其影响[J].内蒙古师范大学学报(教育科学版),2006,19(1):88～90.

[4] 梁伟.试析悖论与数学史上三次危机及其方法论意义[J].科技资讯,2005,(27):187～188.

[5] 王方汉.历史上的三次数学危机[J].数学通报,2002,(5):42～43.

[6] 胡作玄.第三次数学危机[M].四川：四川人民出版社,1985,1～108.

[7] 黄燕玲,代贤军.悖论对数学发展的影响[J].河池师专学报,2003, 23(4):62～64.

[8] 周勇.第2次数学危机的影响和启示[J].数学通讯,2005,(13):47.

[9] 王庚.数学怪论[A].数学文化与数学教育——数学文化报告集[C].北京:科学出版社,2004.13～25.

[10] 兰林世.三次数学危机与悖论[J].集宁师专学报,2003,25(4):47～49.

[11] 王风春.数学史上的三次危机[J].上海中学数学,2004,(6):42～43.

[12] 张怀德.数学危机与数学发展[J].甘肃高师学报,2004,9(2):60～62.

简述数学史上的三次数学危机及其对数学发展的影响
答：三次数学危机第一次数学危机古希腊的毕达哥拉斯学派。他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。 毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角...

历史上有几次数学危机?对这次数学危机采取什么态度?这种态度对数学发展...
答：数学史上的三次数学危机分别发生在公元前5世纪、17世纪、19世纪末，都是发生在西方文化大发展时期。因此，数学危机的发生，都有其一定的文化背景。 这三次数学危机分别是： 第一次：古希腊时代，由于不可公度的线段――无理数的发现与一些直觉的经验想抵触而引发的； 第二次：是在牛顿和莱布尼茨建立...

数学的三次革命是什么?
答：这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。由两千多年后的数学家们建立的实数理论才消除它。2.第二次数学危机导源于微积分工具的使用。贝克莱一针见血地指出牛顿在对x^n(n是正整数)求导时既把△x不当做0看而又把△x当作0看是一个严...

数学史上的三次危机及如何化解
答：2、公理化集合系统，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着...

数学的三大危机
答：悖论的产生---第三次数学危机 数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地...

数学三大危机是什么。
答：险些要把整个微积分理论推翻。第三，罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！

数学的三次危机是什么
答：数学的三次危机是无理数的发现、集合论的悖论、费马大定理的证明。1、无理数的发现 在公元前5世纪，希腊数学家毕达哥拉斯发现了一个无法用整数表示的数，即无理数。这个发现挑战了当时数学的基本原则，即所有的数都可以表示为整数或分数。这个发现对数学产生了深远的影响，导致数学家们重新审视数学的...

简答历史上的三次数学危机产生的根源与解决
答：第三次数学危机是关于集合论,即著名的罗素悖论,集合的定义受到了攻击.最终通过不同的公理化系统解决,使数理逻辑等学科得到发展。历史上的三次数学危机,给人们带来了极大的麻烦,危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷,科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段,所以悖论是科学发展的产物,又...

数学史上的三次危机是什么?
答：第三次数学危机 “数学狂人”康托一手所发展的集合论作为现代数学的基础早已是数学界的共识。然而在1903年，集合论被发现是有漏洞的！这一发现就像在平静的水面上投下了一块巨石，它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。英国数学家罗素就是这一危机的“始作俑者”。罗素构造了一个集合S：S由一切...

有谁知道数学历史中的重大事件? 比如三大危机之类
答：数学史上的三次危机无理数的发现──第一次数学危机 大约公元前5世纪,不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文、音乐称为"四艺",在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为:宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比,毕达哥拉斯学派的一项...