圆周角定理
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
图1
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
图2
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
图3
连接AO，并延长AO交⊙O于D
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
编辑本段圆周角定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
编辑本段圆周角定理定义
圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
推论
半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角。
编辑本段证明
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
图2
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
图3
连接AO，并延长AO交⊙O于D
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
编辑本段圆周角推论特殊圆周角
1: 半圆(弧)和直径所对圆周角是90°.
90°圆周角所对弦是直径.
(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90‵圆周角,作其所对弦,即直径.)
等弧所对圆周角相等
圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.
同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.
命题1: 在圆中作弦MN,于直线MN同侧取点A、B、C,使点A、B、C分别在圆内、上、外，将点A、B、C分别与
点M、N连结,则有∠A>∠B>∠C
(图略,证明:三角形一外角等于不相邻两内角和.)
命题2: 顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半.
顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.
(图略,证明略)
同意请给分 谢谢
编辑本段圆周角定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
编辑本段圆周角定理定义
圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
推论
半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角。
编辑本段证明
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
图2
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
图3
连接AO，并延长AO交⊙O于D
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
编辑本段圆周角推论特殊圆周角
1: 半圆(弧)和直径所对圆周角是90°.
90°圆周角所对弦是直径.
(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90‵圆周角,作其所对弦,即直径.)
等弧所对圆周角相等
圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.
同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.
命题1: 在圆中作弦MN,于直线MN同侧取点A、B、C,使点A、B、C分别在圆内、上、外，将点A、B、C分别与
点M、N连结,则有∠A>∠B>∠C
(图略,证明:三角形一外角等于不相邻两内角和.)
命题2: 顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半.
顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.
(图略,证明略)
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参考资料：http://baike.baidu.com/view/327893.htm
圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。 http://baike.baidu.com/view/327893.htm
圆周角
定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
圆周角定理定义
圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
推论
半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角。
圆周角定理是什么?
答：圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。该定理反映的是圆周角与圆心角的关系。1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角图 2.圆周角的度数等于它所对的弧...
圆周角定理及其推论
答：关于圆周角定理及其推论如下：圆周角定理是几何学中的一个重要定理，它描述了圆周上的两个角所对应的弧长之比与这两个角的度数之比相等。具体来说，如果一个圆的半径为r，那么对于圆周上的两个角，它们所对应的弧长的比...
圆周角定理及其推论
答：圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，这一定理叫作圆周角定理。一、定理内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。二、定理推论：1、在同圆或等圆中...
圆周角定理及其推论
答：圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧的半圆...
请问圆周角定理有什么用?
答：圆周角定理是平面几何中的重要定理，它表明若一个角的顶点位于圆上，其两条边分别与圆相交于两个点，则这个角的角度等于其所对圆弧的一半。以圆心为顶点，连接圆心到两个交点，形成一个三角形。b. 证明该三角形的内角和...
圆周角和圆心角的关系
答：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。即圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。该定理反映的是圆周角与圆心角的关系。定理推论 1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对...
什么是 圆周角定理 ?
答：圆周角定理，就是等弧所对的圆周角是它所对的圆心角度数（或这条弧的度数）的一半
圆周角定理的定理证明
答：圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半 证明：已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.证明：情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：∵OA、OC...
圆周角定理的三个推论
答：圆周角定理的三个推论是同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
直径所对的圆周角是直角是什么定理
答：直径所对的圆周角是直角是圆周角定理。即一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半了。这一定理叫做圆周角定理。该定理反映的是圆周角与圆心角的关系。内容：1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆...