伯特兰-切比雪夫定理证明
供稿：hz-xin.com 日期：2025-01-16
在证明 Bertrand 假设之前，我们先来看几个关键的辅助命题。
引理 1：给定自然数 n 和素数 p，n! 中 p 的最大幂次 s 可以通过计算从1到n的各数中 p 的幂次之和得出，即 s = Σ1≤i≤n si。可以想象将这些数排列成直线，每个数字上的 si 记号代表相应 p 的幂次，总和即为 s。通过不同方式求和（先列求和或先行求和），我们可以证明这个关系。
推论 1.1：对于 (2n)!/(n!n!)，p 的最高幂次 s 等于 Σi≥1 [ 2n/pi - 2 n/pi ]。
推论 1.2：n ≥ 3 时，若 p 是素数，s 表示 (2n)!/(n!n!) 中 p 的幂次，有 (a) ps ≤ 2n；(b) 若 p > √2n，则s≤1；(c) 若 2n/3 < p ≤ n，则s = 0。
引理 2：对于自然数 n 和素数 p，有 Πp≤n p < 4n，这意味着素数的乘积小于 4 的 n 次方。
这些预备定理为 Bertrand 假设的证明提供了基础。现在我们用反证法来证明，假设存在 n ≥ 2 时，n 到 2n 之间没有素数。我们通过分析 (2n)!/(n!n!) 的分解来得出矛盾。
在 Bertrand 假设的证明中，关键在于观察 (2n)!/(n!n!) 的素数分解，它揭示了 n 与 2n 之间素数缺失的影响。最终，通过比较不同大小的素数因子乘积，我们发现当 n 足够大时，不等式不成立，这与 Bertrand 假设相悖，证明了假设的正确性。
尽管 Bertrand 假设看似简单，其证明展示了数学证明中的巧妙策略，如利用分解和对数性质。而且，它并非仅仅是一个深奥的定理，而是对素数分布的直观描述，提供了素数密度的下界。
在强化 Bertrand 假设方面，有更精确的定理，比如定理 1 和定理 2，它们进一步刻画了素数的分布特性。
引理 1：给定自然数 n 和素数 p，n! 中 p 的最大幂次 s 可以通过计算从1到n的各数中 p 的幂次之和得出，即 s = Σ1≤i≤n si。可以想象将这些数排列成直线，每个数字上的 si 记号代表相应 p 的幂次，总和即为 s。通过不同方式求和（先列求和或先行求和），我们可以证明这个关系。
推论 1.1：对于 (2n)!/(n!n!)，p 的最高幂次 s 等于 Σi≥1 [ 2n/pi - 2 n/pi ]。
推论 1.2：n ≥ 3 时，若 p 是素数，s 表示 (2n)!/(n!n!) 中 p 的幂次，有 (a) ps ≤ 2n；(b) 若 p > √2n，则s≤1；(c) 若 2n/3 < p ≤ n，则s = 0。
引理 2：对于自然数 n 和素数 p，有 Πp≤n p < 4n，这意味着素数的乘积小于 4 的 n 次方。
这些预备定理为 Bertrand 假设的证明提供了基础。现在我们用反证法来证明，假设存在 n ≥ 2 时，n 到 2n 之间没有素数。我们通过分析 (2n)!/(n!n!) 的分解来得出矛盾。
在 Bertrand 假设的证明中，关键在于观察 (2n)!/(n!n!) 的素数分解，它揭示了 n 与 2n 之间素数缺失的影响。最终，通过比较不同大小的素数因子乘积，我们发现当 n 足够大时，不等式不成立，这与 Bertrand 假设相悖，证明了假设的正确性。
尽管 Bertrand 假设看似简单，其证明展示了数学证明中的巧妙策略，如利用分解和对数性质。而且，它并非仅仅是一个深奥的定理，而是对素数分布的直观描述，提供了素数密度的下界。
在强化 Bertrand 假设方面，有更精确的定理，比如定理 1 和定理 2，它们进一步刻画了素数的分布特性。
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