数值分析(7)：函数逼近
在数值分析中，当我们处理插值点不精确的情况时，不再追求精确通过每个点，而是寻求在低次多项式下，使函数与插值点之间的误差保持在可接受的范围内，这就是函数逼近的核心思想。主要关注两个概念：代数多项式空间和函数空间。
代数多项式空间由满足加法和数乘运算的多项式组成，而函数空间则是由所有函数构成的集合，具有线性结构。函数逼近问题可以表述为：在给定的函数空间中，寻找一个低次多项式，使其与原函数在某个范数下误差最小，即曲线拟合的最小二乘法。
预想的知识包括多元函数的极值条件、向量内积及其性质、带权内积和连续加权范数，以及函数组的线性相关性和正交多项式的概念。正交多项式是满足特定条件的多项式序列，它们在特定权函数下互相正交，这在构造逼近函数时尤其重要。
在最佳平方逼近中，关键是对函数在高维空间中的逼近，通过求解函数的极值来找到最小误差的低维函数。例如，对于多项式空间的逼近，通过Gram-Schmidt方法将基转换为正交基，可以简化求解过程。
曲线拟合的最小二乘法则是将离散数据拟合到一个特定函数形式中，通过定义离散版本的函数加权内积来求解最小误差的函数。这种方法广泛应用于各种实际问题中，如数据拟合和超定方程组的求解。
数值分析中的函数逼近是实用且重要的工具，通过理解这些理论，我们可以有效地处理数据中的不精确性和复杂性。
函数数值表是什么
函数数值表在数学和科学领域具有重要应用，例如：1. 函数逼近：通过研究函数在某一区间内的数值表，我们可以使用插值方法（如拉格朗日插值、牛顿插值等）来构建一个逼近函数，用于估计函数在其他自变量值处的值。这种方法在数值分析、计算机图形学等领域具有广泛应用。2. 函数优化：函数数值表有助于我们找到...
函数逼近论发展
4. 数值方法：为了解决实际问题中的最佳逼近问题，数值方法应运而生，包括近似求解最佳逼近元和逼近值，特别是在快速电子计算机的推动下，数值逼近理论成为计算数学的核心部分。多元函数的逼近问题同样重要，苏联学者尼柯利斯基等人在50至60年代的研究中，探讨了多元函数与三角多项式或指数型整函数的最佳逼近阶...
函数逼近论的发展
简称最佳逼近，简记为）满足条件 ,式中的M,A是不依赖于n的正的常数。对于【α,b】区间上的（不考虑周期性）连续函数借助于代数多项式的逼近值与函数构造性质间的联系也有和上述结果相类似的定理，不过情况比周期函数复杂多了。这一问题是在50年代由苏联数学家Α.Ф....
数值分析的特点
数值分析这门学科有如下特点：1·面向计算机2·有可靠的理论分析3·要有好的计算复杂性4·要有数值实验5.要对算法进行误差分析主要内容：插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。
西安交通大学研究生教育系列教材:数值分析目录
第5章 函数最优逼近 探讨了函数内积、范数与正交多项式，最优平方逼近方法，以及最优一致逼近的多项式。第6章 数值积分与数值微分 阐述了牛顿-科茨求积公式、复化求积公式、变步长积分法、龙贝格积分法，以及待定系数法与高斯型求积公式。此外，还分析了数值积分的稳定性与数值微分方法。第7章 非线性方程...
数值分析第5版图书目录
第3章"函数逼近与快速傅里叶变换"介绍了函数逼近的基本概念，如函数空间、正交多项式和切比雪夫多项式等，同时涵盖了快速傅里叶变换这一高效计算工具。后续章节，如第4章"数值积分与数值微分"，探讨了数值方法在求解积分和微分问题上的应用；第5章至第7章分别涉及线性方程组的直接和迭代解法，以及非线性...
数值分析(7)-正交多项式
正交多项式包括多项式集合中的多项式，如Laguerre多项式、Hermite多项式、Legendre多项式等。这些多项式集合在特定条件下具有正交性，如在Laguerre多项式中，它们在半正实轴上正交。这些集合在数值分析中用于多项式插值、逼近理论、数值积分、方程求解等方面。多项式插值是将一组数据点拟合到多项式函数的过程，以重现...
在数学建模中需要具备哪些数学知识和技能?
8.函数逼近与样条插值：函数逼近与样条插值是研究用简单函数逼近复杂函数的方法，包括多项式插值、样条插值和小波变换等。在数学建模中，这些知识用于数据拟合、插值和信号处理等问题。9.常微分方程与偏微分方程：常微分方程与偏微分方程是研究变量之间关系及其变化的数学分支，包括初值问题、边值问题和解析解...
导数零点个数问题的解题方法有哪些?
对于连续且单调的函数，我们可以使用二分法来寻找零点。首先，我们选择一个区间[a, b]，然后计算f(a)和f(b)的符号。如果f(a)和f(b)的符号相反，那么我们可以在区间[a, b]的中点c处取一个新的区间[a, c]或[c, b]，然后重复这个过程。通过不断缩小区间，我们可以找到一个零点的近似值。
有函数逼近论的参考资料么
插值法 (Interpolation) 是数值逼近的基本方法之一，旨在通过给定数据点构造一个简单函数，使其满足这些数据点的值。本教程旨在帮助学生掌握插值法的基本思路和主要方法，培养分析、判断和计算能力。教学重点包括Lagrange插值、Newton插值和Hermite插值。教学方法结合提问、讲授和示范，以加深理解。插值法概述插值...