如何证明(a,b,c)=((a,b),c)？
对任意的x属于（A并B）交（A并C），若x不属于A，则x必然属于（B-A）交（C-A），该集合又属于B交C。从而x属于A或（B交C），由x的任意性可知（A并B）交（A并C）属于A并（B交C）（B-A表示B中除去A所剩下的部分）。
因为A属于A并B，B交C属于B属于A并B，所以A并（B交C）属于A并B；同理，因为A属于A并C，B交C也属于C属于A并C，所以A并（B交C）属于A并C。从而A并（B交C）属于（A并B）交（A并C），综上可得，A并（B交C）=（A并B）交（A并C）。
初等代数
三种数——有理数、无理数、复数。
三种式——整式、分式、根式（统称代数式）。
三类方程——整式方程、分式方程、无理方程（统称代数方程）。
以及由有限多个代数方程联立而成的代数方程组。
楼主，(a,[b,c])=[(a,b),(b,c)]是不对的。正确的是:(a,[b,c])=[(a,b),(a,c)] ，证明：(a,[b,c])=(a,bc/(b,c) )=(a,bc)/(a,(b,c))=(a,b)*(a,c)/(a,b,c)=(a,b)*(a,c)/((a,b),(a,c))=[(a,b),(a,c)]
设x＝（a，b，c）y＝（（a，b），c）。
x|a，x|b，所以x|（a，b）又x|c，所以x|y。
y|（a，b）所以y|a，y|b，又y|c，所以y|x。
综上所述，x＝y，证毕。
主要使用结论: 两个数的公约数一定整除它们的最大公约数.
首先, 若a, b, c中有0, 易见((a,b),c) = 0 = (a,b,c). 以下只讨论a, b, c ≠ 0的情况.
∵(a,b,c)是a, b, c的公约数, 即(a,b,c) | a, (a,b,c) | b, (a,b,c) | c,
∴(a,b,c) | (a,b), (a,b,c) | c, 即(a,b,c)是(a,b)和c的公约数,
∴(a,b,c) | ((a,b),c).
由a, b, c ≠ 0, 有((a,b),c) > 0, 于是(a,b,c) ≤ ((a,b),c).
而∵((a,b),c)是(a,b)和c的公约数, 即((a,b),c) | (a,b), ((a,b),c) | c,
∴((a,b),c) | a, ((a,b),c) | b, ((a,b),c) | c, 即((a,b),c)是a, b, c的公约数.
∴((a,b),c) ≤ (a,b,c).
于是只有((a,b),c) = (a,b,c).
至于怎么证明两个数的公约数一定整除它们的最大公约数.
这个用裴蜀(Bézout)定理, 存在整数x, y使ax+by = (a,b).
易见a, b的公约数一定整除左边, 因此也整除右边.
Bézout定理则是用带余除法证明的.
设（a，b，c）=m，（（a，b），c）=n
注意到最大公因数的概念，由（a，b，c）我们可以得到m｜a，m｜b（即m为a、b的公因数），所以m｜（a，b），又因为m｜c（即m为（a，b和c的公因数）所以m｜（（a，b），c）（可以看作（a，b）和c的最大公因数，所以m｜n。同理可证n｜m，所以m=n。
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