如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC-根号2
（Ⅰ）取AB的中点E，连结DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB。当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面 平面ABC=AB，所以DE平面ABC，可知DE⊥CE由已知可得 ，在Rt△DEC中， （Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD证明：（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD（ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC⊥BC，所以AB⊥CE又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由 平面CDE，得AB⊥CD．综上所述，总有AB⊥CD
解：（Ⅰ）取AB的中点E，连接DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB．当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE由已知可得 DE＝3，EC＝1，则S△ABC=1，VD-ABC=13×3×1=33．（Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD．证明：（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD．（ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC=BC，所以AB⊥CE．又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD?平面CDE，得AB⊥CD．综上所述，总有AB⊥CD．
我个人理解你那句“AC=BC-根号2”应该是“AC=BC=根号2”，否则没法做。1、取AB中点E，连接CE、DE，可求得CE=1，DE=根号3
因为AC=BC，所以△ABC为等腰三角形，所以CE⊥AB
又平面ADB⊥平面ABC，AB为两平面连接线，CE⊥AB，所以CE⊥平面ADB，所以CE⊥DE
所以△CDE为直角三角形，可求得CD=2
2、①当平面ABD不与平面ABC处于同一平面时：
取AB中点E，连接CE、DE，由已证可知CE⊥AB，同理可得DE⊥AB，故AB⊥平面CDE，而CD属于平面CDE，所以AB⊥CD，
②当平面ABD与平面ABC处于同一平面时：
取AB中点E，连接CE、DE，由已证可知CE⊥AB，同理可得DE⊥AB，故E在直线CD上，所以AB⊥CD。
证明完毕。
1、取AB中点E，连接CE、DE，可求得CE=1，DE=根号3
因为AC=BC，所以△ABC为等腰三角形，所以CE⊥AB
又平面ADB⊥平面ABC，AB为两平面连接线，CE⊥AB，所以CE⊥平面ADB，所以CE⊥DE
所以△CDE为直角三角形，可求得CD=2
2、①当平面ABD不与平面ABC处于同一平面时：
取AB中点E，连接CE、DE，由已证可知CE⊥AB，同理可得DE⊥AB，故AB⊥平面CDE，而CD属于平面CDE，所以AB⊥CD，
②当平面ABD与平面ABC处于同一平面时：
取AB中点E，连接CE、DE，由已证可知CE⊥AB，同理可得DE⊥AB，故E在直线CD上，所以AB⊥CD
希望我的回答能够解决你的难题
1.CD=DB的平方+BC的平方
2.若能证明AB⊥CD，那么不管△ABD怎么转，那AB总是垂直于CD的！
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