在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做 圆 。圆有无数个点。

在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。圆可以表示为集合{M||MO|=r},圆的标准方程是(x - a) ² + (y - b) ² = r ² 。其中，o是圆心，r 是半径。

圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。

圆是一种几何图形。根据定义，通常用 圆规 来画圆。 同圆内圆的直径、半径长度永远相同，圆有无数条 半径 和无数条 直径 。圆是轴对称、中心对称图形。对称轴是直径所在的直线。 同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是概念性的图形。

基本介绍

• 中文名 ：圆
• 外文名 ：circle
• 别称 ：圆形
• 表达式 ：（x-a)2+（y-b)2=r2
• 套用学科 ：数学
• 适用领域范围 ：几何图形
• 图形表示 ：⊙

圆的定义,第一定义,第二定义,相关特点,径,弦,弧,角,圆周率,形,表示方式,计算公式,圆的周长公式,圆的面积公式,弧长角度公式,扇形面积公式,位置关系,圆的性质,相关定理,切线定理,切线长定理,切割线定理,割线定理,垂径定理,弦切角定理,圆的方程,绘制方式,历史介绍,

圆的定义

第一定义

在同一平面内到定点的距离等于定长的点的 集合 叫做 圆 （ ci rcle ） 。这个定点叫做圆的 圆心 。 圆形一周的长度，就是圆的 周长 。能够重合的两个圆叫 等圆，等圆有无数条对称轴。 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但永远无法等于0。

第二定义

平面内一动点到两定点的距离之比（或距离的平方之比），等于一个不为1的常数，则此动点的轨迹是圆。 证明：点坐标为(x ₁ ,y ₁ )与(x ₂ ,y ₂ )，动点为(x,y)，距离比为k，由两点距离公式。满足方程(x-x ₁ ) ² + (y-y ₁ ) ² = k ² ×[ (x-x ₂ ) ² + (y-y ₂ ) ² ] 当k不为1时，整理得到一个圆的方程。 几何法：假设定点为A，B，动点为P，满足|PA|/|PB| = k（k≠1），过P点作角APB的内、外角平分线，交AB与AB的延长线于C，D两点由角平分线性质，角CPD=90°。由角平分线定理：PA/PB = AC/BC = AD/BD =k，注意到唯一k确定了C和D的位置，C线上段AB内，D在AB延长线上，对于所有的P，P在以CD为直径的圆上。

相关特点

径

1.连线圆心和圆上的任意一点的线段叫做 半径 ，字母表示为 r （ radius ） 2.通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做 直 径 ，字母表示为 d （ diameter ）。直径所在的直线是圆的对称轴。 圆的直径 d=2r

弦

1.连线圆上任意两点的线段叫做 弦 （ chord ）.在同一个圆内最长的弦是直径。直径所在的直线是圆的对称轴，因此，圆的对称轴有无数条。

弧

1.圆上任意两点间的部分叫做 圆弧 ，简称弧（ arc ）以“⌒”表示。
2.大于半圆的弧称为 优弧 ，小于半圆的弧称为 劣弧 ， 所以半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧一般用三个字母表示，劣弧一般用两个字母表示。优弧是所对圆心角大于180度的弧，劣弧是所对圆心角小于180度的弧。 3.在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做 等弧。

角

1.顶点在圆心上的角叫做 圆心角 （central angle）。 2. 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做 圆周角 。圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。

圆周率

圆周长度与圆的直径长度的比值叫做 圆周率 。它是一个无限不循环小数，通常用字母 表示， ≈3.1415926535......计算时通常取近似值3.14。我们可以说圆的周长是直径的π倍，或大约3.14倍，不能直接说圆的周长是直径的3.14倍。

形

1.由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做 弓形 。 2. 由圆心角的两条半径和圆心角所对应的一段弧围成的图形叫做 扇形 （ sector ）。

表示方式

圆—⊙ ；半径— r 或 R （在环形圆中外环半径表示的字母）；圆心— O ；弧—⌒；直径— d ； 扇形弧长— L ； 周长— C ； 面积— S 。

计算公式

圆的周长公式

圆的周长： 圆周长的一半 c=πr 半圆的周长 c=πr+2r 圆的周长公式推导（此方面涉及到弧微分） 设圆的参数方程为 ，
圆在一周内周长的积分 代入，可得
即

圆的面积公式

圆的面积计算公式： 或 或 圆的面积求直径： 把圆分成若干等份，可以拼成一个近似的长方形。长方形的宽相当于圆的半径。 圆锥侧面积 （l为母线长）

弧长角度公式

扇形弧长L=圆心角（弧度制）×R= nπR/180（θ为圆心角）（R为扇形半径） 扇形面积S=nπ R ² /360=LR/2（L为扇形的弧长） 圆锥底面半径 r=nR/360（r为底面半径）（n为圆心角）

扇形面积公式

R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L是扇形对应的弧长。 也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n，如下： （L为弧长，R为扇形半径） 推导过程:S=πr ² ×L/2πr=LR/2 (L=│α│·R)

位置关系

点和圆位置关系 ①P在圆O外，则 PO>r。 ②P在圆O上，则 PO=r。 ③P在圆O内，则 PO<r。 反之亦然。 平面内，点P(x ₀ ,y ₀ )与圆(x-a) ² +(y-b) ² =r ² 的位置关系判断一般方法是： ①如果(x ₀ -a) ² +(y ₀ -b) ² <r ² ，则P在圆内。 ②如果(x ₀ -a) ² +(y ₀ -b) ² =r ² ，则P在圆上。 ③如果(x ₀ -a) ² +(y ₀ -b) ² >r ² ，则P在圆外。 直线和圆位置关系 ①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。 ②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的 割线 。AB与⊙O相交，d<r。 ③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的 切线 ，这个唯一的公共点叫做 切点 。圆心与切点的连线垂直于切线。AB与⊙O相切，d=r。（d为圆心到直线的距离） 平面内，直线Ax+By+C=0与圆x ² +y ² +Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x ² +y ² +Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程 如果b ² -4ac>0，则圆与直线有2个公共点，即圆与直线相交。 如果b ² -4ac=0，则圆与直线有1个公共点，即圆与直线相切。 如果b ² -4ac<0，则圆与直线有无公共点，即圆与直线相离。 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x ² +y ² +Dx+Ey+F=0化为（x-a） ² +（y-b） ² =r ² ，令y=b，求出此时的两个x值x ₁ 、x ₂ ，并且规定x ₁ <x ₂ ，那么： 当x=-C/A<x ₁ 或x=-C/A>x ₂ 时，直线与圆相离； 当x ₁ <x=-C/A<x ₂ 时，直线与圆相交。 圆和圆位置关系 ①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。 ②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。 ③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，则结论：外离P>R+r；外切P=R+r；内含P<R-r； 内切P=R-r；相交R-r<P<R+r。

圆的性质

⑴圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理 ：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。 垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。 ⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 ① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 ②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 圆心角计算公式：　θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。 即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 ③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。 ⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理 ①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等； ②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。 ③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。 ④两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线） ⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AC与BD分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 （4）如果两圆相交，那么连线两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。 （5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 （6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。 （7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。 （8）周长相等，圆面积比正方形、长方形、三角形的面积大。

相关定理

切线定理

垂直于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。 切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质： （1）经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。 （2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 （3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理

从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。 以下简述切线长定理的证明。 欲证 AC = AB ，只需证△ ABO ≌ △ ACO 。 设 OC 、 OB 为圆的两条半径，又∠ ABO = ∠ ACO =90° 在Rt△ ABO 和Rt△ ACO 中 ∴Rt△ ABO ≌ Rt△ ACO （H.L） ∴ AB = AC ，且∠ AOB =∠ AOC ，且∠ OAB =∠ OAC 。

切割线定理

切割线定理的证明： 圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点 ， 则有pC^2=pA·pB 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT ² =PA·PB 证明：连线AT, BT ∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理) ∠APT=∠TPB(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT ² =PB·PA

割线定理

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 一条直线与一条弧线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线。 与割线有关的定理有：割线定理、切割线定理。常运用于有关于圆的题中。 与切割线定理相似：两条割线交于p点，割线m交圆于A1 B1两点，割线n交圆于A2 B2两点，则pA1·pB1=pA2·pB2。 如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，求证：PA·PB=PC·PD 证明：连线AD、BC∵∠A和 ∠C都对弧BD ∴由圆周角定理，得 ∠DAP=∠BCP 又∵∠P=∠P ∴△ADP∽△CBP （如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。） ∴AP:CP=DP:BP 即AP·BP=CP·DP

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 设在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD 连线OA、OB分别交⊙O于点A、点B ∵OA、OB是⊙O的半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一） ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC

弦切角定理

弦切角等于对应的圆周角。(弦切角就是切线与弦所夹的角） 已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。 求证：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC 证明：设圆心为O，连线OC，OB,。 ∵∠OCB=∠OBC ∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC) 又∵∠BOC=2∠BAC ∴∠OCB=90°-∠BAC ∴∠BAC=90°-∠OCB 又∵∠TCB=90°-∠OCB ∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC 综上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

圆的方程

1、 圆的标准方程 ： 在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a） ² +（y-b） ² =r ² 。 特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x ² +y ² =r ² 。 2、 圆的一般方程 ： 方程x ² +y ² +Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2） ² +（y+E/2） ² =（D ² +E ² -4F）/4.故有： （1）当D ² +E ² -4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以 为半径的圆； （2）当D ² +E ² -4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）； （3）当D ² +E ² -4F<0时，方程不表示任何图形。 3、 圆的参数方程 ： 以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r·cosθ, y=b+r·sinθ, （其中θ为参数） 圆的端点式 ： 若已知两点A（a ₁ ,b ₁ ）,B（a ₂ ,b ₂ ），则以线段AB为直径的圆的方程为 （x-a ₁ ）（x-a ₂ ）+（y-b ₁ ）（y-b ₂ ）=0 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。 经过圆 x ² +y ² =r ² 上一点M（a ₀ ，b ₀ ）的切线方程为 a ₀ ·x+b ₀ ·y=r ² 在圆（x ² +y ² =r ² ）外一点M（a ₀ ，b ₀ ）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a ₀ ·x+b ₀ ·y=r ² 。 4、 圆的三点式方程 ：过不共线的三点A(x ₁ ,y ₁ ),B(x ₂ ,y ₂ ),C(x ₃ ,y ₃ )的圆的方程为 圆的三点式方程

绘制方式

一般情况下可用圆规画出圆形，或用一段绳子，一头固定在地上，一头转，就能转出圆，绳子越长，圆越大。 用AutoCAD绘圆 在AutoCAD“绘图”下拉选单中，列出了6种“圆”的绘制方法，简述如下： （1）利用圆心和半径绘圆：用滑鼠点取绘图命令，然后根据提示操作； （2）利用圆心和直径绘圆：用滑鼠点取绘图命令，然后根据提示操作； （3）以两点确定直径绘圆：用滑鼠点取绘图命令，然后根据提示操作； （4）以三点确定直径绘圆：用滑鼠点取绘图命令，然后根据提示操作； （5）以确定半径与两个图形对象相切绘圆：用滑鼠点取绘图命令，然后根据提示操作。 richtext控制项绘圆 定义一个数组，该数组用来存储一个或多个坐标（Point） 然后按照以下步骤来实现 1 生成一个控制项（如Label）,并调整相应的属性 2 在记忆体中建立一张临时的图像作为画布，使用GDI+等各种绘图,将图像绘制到画布上 3 将生成的控制项Image或BackGroundImage属性值设定为步骤2生成的图像 4 使用RichTextBox1.Controls.Add方法，将控制项添加进去（您可以指定它的坐标） 5 将当前已经添加的控制项的坐标记录在数组中（如对应第1个数据） 6 添加RichTextBox1.Scroll事件代码，在该代码中， 过获取滚动条的值来计算已添加控制项应该所在的位置 说明：控制项可以通过代码生成（推荐） 该方法与网上流传的QQ聊天视窗内RichTextBox方法不同， 属于简单型 您务必要定义一个数组，用来参与ScrollBar滚动时，将目标控制项重新定位

历史介绍

圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很像圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚著走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚著走，这样当然比扛着走省劲得多。 约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。 会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。 任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……但在实际运用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圆的周长：C=πd或C=2πr.《周髀算经》上说"周三径一"，把圆周率看成3，但是这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发现"周三径一"只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率，π= 3927/1250。刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率。 在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值。如今有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后五万亿位小数了。

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