怎样求周期函数的周期

根据已知条件 f(x+1) = -f(3+x)，我们可以利用性质来求解 f(x) 的周期。
首先，我们尝试将函数中的 x+1 替换为 x，并将函数中的 3+x 替换为 x。根据周期函数的定义，如果 f(x) 的周期为 T，则对于任意实数 k，有 f(x+kT) = f(x) 成立。
将 x+1 替换为 x，得到 f(x) 的周期为 T 的性质：
f(x) = -f(x)
这意味着对于任意 x，f(x) 的值与 f(x+T) 的值相等但符号相反。
现在我们将 x 替换为 x+1，得到：
f(x+1) = -f(x+4)
我们可以观察到右侧的 x+4 可以通过多次替换 x+1 来表示：
x+4 = (x+1) + (x+1) + (x+1)
根据上述替换，我们可以得到：
-f(x) = -f(x+1) = -f((x+1)+(x+1)+(x+1)) = -f(3x+3)
由于 f(x) = -f(x) 成立，我们可以得到：
f(x) = f(3x+3)
综上所述，f(x) 的周期为 3。也就是说，对于任意实数 k，f(x+k*3) = f(x) 成立。
要求周期函数的周期，可以通过以下步骤进行：

1. 观察函数形式：首先，观察给定的周期函数的函数形式。常见的周期函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。根据函数的形式，可以初步猜测函数的周期。
2. 使用性质和定义：对于常见的周期函数，可以利用它们的性质和定义来求解周期。例如，正弦函数和余弦函数的周期是2π，正切函数的周期是π。
3. 利用公式或图像：如果给定的函数不是常见的周期函数，可以尝试利用函数的公式或图像来求解周期。对于周期性现象，观察波峰、波谷或其他特征点之间的间距，该间距即为周期。
4. 利用导数：某些函数的周期可以通过其导数的性质来求解。例如，对于周期为T的函数，其导数函数在一个周期内也具有相同的性质。因此，可以通过对函数的导数进行分析来找到周期。
5. 数值计算：如果以上方法都不适用，可以通过数值计算来估算函数的周期。选择一些输入值，计算对应的函数值，观察这些函数值是否呈现出重复的模式。通过这种方式可以近似估计函数的周期。
求解函数周期的例题
例题：已知函数 f(x) = sin(2πx + π/3)，求函数 f(x) 的周期。
解答：
对于三角函数来说，周期性是一种常见的特征。根据正弦函数的性质，正弦函数的周期为 2π。
在给定的函数 f(x) = sin(2πx + π/3) 中，我们可以观察到函数中的自变量 x 被 2πx+π/3 替代。这意味着我们需要找到一个常数 a，使得当 x 增加 a 时，函数的自变量 2πx+π/3 增加一个完整的周期。
考虑到 2πx 的周期为 2π，我们可以通过等式 2πa = 2π 来解得 a = 1。这样，当 x 增加 1 时，函数的自变量 2πx+π/3 增加一个完整的周期，而函数 f(x) 也会重复相同的值。
因此，函数 f(x) 的周期为 1。也就是说，对于任意实数 k，f(x+k) = f(x) 成立，其中 k 表示周期的倍数。

sin x，cos x，tan x，cot x 等所有的三角函数都是周期函数。周期函数的定义域一定是无限集合,定义在有限集合上的函数都不是周期函数
任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期，譬如狄利克雷函数。

扩展资料：
若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。
参考资料来源：百度百科--周期函数

一般周期函数的判定方法

任伟林

（绍兴市职教中心 数学组 浙江绍兴 312001）

摘 要：讨论了周期函数的定义、性质、判断及非周期函数的判断
关键词：周期函数，函数的周期，复合函数
周期性是函数的一条特殊而有趣的性质，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论。本文在高中数学的基础上，对周期函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，用初等的方法进行一些探讨。
1、周期函数的定义及性质
定义：设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质；
（1）对 有（X±T） ；
（2）对 有f（X+T）=f（X）
则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。
由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
例1 常数值函数f（X）=C（C是常数）是实数集R上以任意非零实数为周期的周期函数。
狄利克莱函数D（X）= 是实数集上任意非零有理数为周期的周期函数。
由于正实数和正有理数都没有最小的，因而它们都没有最小正周期。
2、性质：
（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。
（因f[x+(T-T)]=f[X+(-T)]= f(X)）。
因而周期函数必定有正周期。
（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。
证：当n＞0时，f(x+nT)=f[x+(n-1)T+T]=f[x+(n-1)T]=……
=f（x+T）= f(X)。
当n＜0时，∵-n＞0，由前证和性质1可得：
nT=-（-nT）是f(X)的周期。∴当n为任意非零整数时命题成立。
（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。（因f[x+（T1±T2）]=f（x+T1）= f(X)）。
（4）、如果f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。否则必存在n1r Z+（Z+为正整数）使T=n1T*+r（0＜r＜T*），则对 （f(X)的定义域）有f(X)=f（x+T）=f＝（x+n1T*+r）=f（x+r），∴r也是f(X)的正周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾。∴T必是T*的正整数倍。
（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）
证：据条件和性质4知，存在K1、K2 Z，使T1=K1T*，T2=K2T*，∴ 。
（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。（用反证法据性质5即可证得）。
（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。
证：若T是f(X)的周期，则nT（n ，n≠0）也是f(X)的周期，∴ 有X±nT M，∴M双方无界，但并非M必定（-∞、+∞），如tgX和ctgX的定义域分别为X≠Kπ+π/2和X≠Kπ（K ）。
例2：f(X)=sinX（ ≤10π）不是周期函数。
3、周期函数的判定
定理1 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。
证：∵T*是f(X)的周期，∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。
假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（ 0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期，则对 ，有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)- f(X)=0，∴f(X+T’)= f(X)，∴T’是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。
同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。
定理2：若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+ b ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。
证：（先证 是f(ax+b)的周期），∵T*是f(X)的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a（X± ）+b=ax+b±T*∈M，且f[a（X+ ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期。
再证 是f（ax+b）的最小正周期
假设存在T’（0＜T’＜ ）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，∴aT’是f(X)的周期，但 ＜ =T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。
定理3：设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。
证：设T是u=g(x)的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) ∴=f(g(x))是M1上的周期函数。
例3 设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。
同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数。
例4，f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。
例5，f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。
证：假设cos 是周期函数，则存在T＞0使cos
（k∈Z）
与定义中T是与X无关的常数矛盾，∴cos 不是周期函数。
由例4、例5说明，若f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期函数，这时f(g(x))可能是，也可能不是周期函数。
定理4：设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。
证：设 （(p·q)=1）设T=T1q=T2p则有： 有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。
推论：设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。
例6 ，f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。
例7，讨论f(X)= 的周期性
解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。
5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。
tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。
又 都是有理数
∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。
同理可证：（1）f(X)=cos ;
(2) f(x)= ；
(3)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。
定理5，设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。
证：先证充分性：
若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 ∈Q
由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。
再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）。
（1）设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T＞0，使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin =
-2sin s(a2x+ ) sin (1)。
令x= 得2cos（a1x+ ），则 （K∈Z）。(2)
或 C∈Z（3）
又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0
由(4)
由sin （5）
由上述（2）与（3），（4）与（5）都分别至少有一个成立。
由（3）、（5得 ）（6）
∴无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 。
（2）设sinaxcosa2x为周期函数，则
是周期函数。
∴ ∴
例8 求证f(X)=sin x+cos x是非周期函数。
证：假设f(X)是周期函数，则 是无理数矛盾。∴f(X)是非周期函数。
4、非周期函数的判定
（1）若f(X)的定义域有界
例9，f(X)=cosx（ ≤10）不是周期函数。
（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数，如例，f(X)=cos 是非周期函数（例5）。
（3）一般用反证法证明。（若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数）。
例10 证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。
证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使对 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例11 证f(X)= 是非周期函数。
证：假设f(X)是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0, ∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例12 证f(X)=sinx2是非周期函数
证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T（＞0），使对 ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X= T有sin( T+T)2=sin（ T）2=sin2kπ=0，∴( +1)2
T2=Lπ(L∈Z+)，∴
与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。
例13 证f(X)=cos(lgx)为非周期函数
证：若f(X)=cos(lgx)是周期函数，则必存在T（＞0）使对 ＞0有cos[lg(x+T)]=cos(lgx),当x=T时，cos(lg2T)=cos(lgT)，当x=2T时，有cos(lg3T)=cos(lg2T)=cos(lgT)……，当x=9T时有cos(lg10T)=cos(lg9T)=cos(lg8T)=……cos(lgT) ∴cos(lgT)=cos(lg10T)=cos(1+lgT)=cos1cos(lgT)-sin1sin(lgT)
∴
同理可得当X=99T时有cos(lgT)=
∴ =
若sin(lgT)≠0时，有

∴cos1-cos21=sin21
∴cos1=1 显然不成立。
又若sin(lgT)=0 则lgT=Kπ ∴cos(lgT)=±1
cos(lg10T)=cos(1+lgT)=cos1cos(lgT)-sin1sin(lgT)=cos1=±1同样不成立 ∴cos(lgx)是非周期函数。
证法2： ∵cos(lgx)的定义域为x＞0，不是双方无界集合，由性质可知cos(lgx)不是周期函数。
类似的还可证f(X)=cos(arc cosx)为非周期函数。
参考文献：
[1] 人民教育出版社中学数学室编，高级中学课本、代数上册 1990.10
[2] 曾建国、谈谈周期函数。中学数学教学参考 1999.4
http://www.sxszjzx.com/~t231/web/jky/show.php?filename=20031203164317.txt
http://bike.baidu.com/view/447508.htm

奇函数的特点
奇函数的特点：1. 原点对称性：奇函数关于原点对称。这意味着如果函数是奇函数，那么对于定义域内的任何一个x值，其对应的函数值f与-f相等。也就是说，函数的图像关于原点是一个中心对称图形。2. 单调性：奇函数在其定义域内并不是单调的。也就是说，奇函数可以在不同的区间内呈现不同的单调性，...

奇、偶函数的性质是什么?
奇偶函数的性质公式如下：偶函数的性质：1、偶函数的图象关于y轴（x=0）对称。2、奇函数关于原点（0，0）对称的区间上呈单调性相反。3、偶函数同时满足f(-x)=f(x)。4、如果一个函数既是奇函数也是偶函数，那么有f(x)=0。5、偶函数定义域关于原点（0，0）对称，同时也是偶函数的必要不充分...

奇函数定义是什么?
奇函数的定义是：对于所有定义域内的x，都有f=-f。接下来，详细解释奇函数的定义及其相关概念：1. 基本概念理解：奇函数是一种特殊的函数性质，它关于原点对称。也就是说，函数图像在原点两侧，以原点为中心，呈现出对称的图形。这种对称性在数学上表现为，当输入值为负数时，其输出值与输入为正数时...

什么是奇函数
奇函数是指，对于函数f在其定义域内的每一个x，都有f = -f的特性。这意味着，如果我们将x替换为-x，函数的值会变成原来的相反数。偶函数则是另一种特性，对于函数f在其定义域内的每一个x，都有f = f。这意味着，如果我们将x替换为-x，函数的值保持不变。有一种特殊情况是，如果一个函数...

奇函数是什么
奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=- f（x）。奇函数性质：1.、两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。2、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。3、两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶...

奇函数有哪些?
常见的奇函数包括：1. 正弦函数 (sin(x))2. 立方函数 (f(x) = x^3)3. x 的五次函数 (f(x) = x^5)4. x 的七次方函数 (f(x) = x^7)5. x 的九次方函数 (f(x) = x^9)6. 绝对值函数 (|x|)7. 正切函数 (tan(x))8. 锥函数 (cot(x))9. 余切函数 (cot(x))这些...

奇函数和偶函数怎么判断
奇函数和偶函数判断如下 1、定义上来看：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x）=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x），那么函数f(x)就叫奇函数。2、图像上来看：偶函数的tuxiang关于y轴对称,奇函数的...

函数判断奇偶性的方法
函数判断奇偶性的方法如下：1、定义法：对于f(x)定义域A内的任意一个x，如果都有f(－x)=－f(x)，那么f(x)为奇函数；如果都有f(－x)=f(x)，那么f(x)为偶函数。2、求和（差）法：若f（x）-f（-x）=2f（x），则f（x）为奇函数。若f（x）+f（-x）=2f（x），则f（x）为偶...

什么是奇函数
奇函数是指在定义域内，对于任意x值，函数f(x)满足f(-x) = -f(x)的性质。这种函数的图像关于原点对称，即当x轴正半轴上的点(x, y)在图像上时，x轴负半轴上的点(-x, -y)也在图像上。例如，f(x) = x^3是一个奇函数，因为f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。偶函数则...

函数的奇偶性怎样判断?
判断函数的奇偶性共有四种方法。1、定义法：利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）定义：如果对于函数y=f（x）的定义域A内的任意一个值x，都有f（-x）=-f（x）则这个函数叫做奇函数f（-x）=f（x），则这个函数叫做偶函数。2、求和（差）法：若f（x）-f（-x）=2f（x）...