对中国古代的几何学的评价，总结
周自相乘,以高乘之,十二而一。。一种长方体称做方堡壔，是以正方形为底的角柱体：「方自乘，以高乘之，得积尺」。这个是对中国古代的几何学的评价，总结。---下载逸管家app
中国怎么会没发展呢？《九章算术》起源东汉，是中国最早的有关几何的著作，后人研究面积、体积等均以此为参考；
面积部分，都记载在该书卷一「方田章」
体积部分，除球体积公式外，其余均记载于该书卷五「商功章」
人类在现实的物质世界裏，对物体形态的体验，逐渐发展出诸如图形的形状、大小（度量）与图形之间的相互关系等概念，这些可说都是几何学的源头。无疑地，古代的文明民族，多多少少都曾经创造各具特色的几何学。因此，几何学源自古埃及尼罗河泛滥丈量土地之说，根本是个经不起挑战的神话。事实上，即以古中国为例，远在新石器农业时代（约4000～3500B.C.），就已有了长方形、正方形和圆形的房屋基地（见於西安半坡遗址），这是对“形状”的一种了解和掌握。而更进一步，我们从周陶和汉砖上也发现很多几何图案，充分说明我们的祖先对几何图形之间的相互关系之认识；至于对图形面积、体积（大小度量）公式的发展，也可远溯到春秋战国时代，这乃是因为私有土地征税需要丈量面积，而且有关土木建筑和容器的计算，也牵涉到体积的概念。
不过，虽然几个古文明如中国、巴比伦和埃及，对面积、体积公式与其理论都有一定程度的贡献，也各有颇为丰富的几何图案留传下来，可是对「形」的本质，乃至形与形之间相互关系的重视，却仅有古希腊一家，别无分号。这些成果都总结在欧几里得的经典作品「几何原本」一书中。在该书内，欧几里得把当时（约西元前三世纪）古希腊已知（包括学自古埃及和巴比伦人的）的几何知识加以整理，并赋与抽象化的概念，然后以十个公理为基础，建立了一套逻辑论理的几何体系。
所以，中国的几何学是有的，只是现代人用的是通用化的西方公式；
一句话就是，几何公式是中国古代几何学的升级版~~
不过，虽然几个古文明如中国、巴比伦和埃及，对面积、体积公式与其理论都有一定程度的贡献，也各有颇为丰富的几何图案留传下来，可是对「形」的本质，乃至形与形之间相互关系的重视，却仅有古希腊一家，别无分号。这些成果都总结在欧几里得的经典作品「几何原本」一书中。在该书内，欧几里得把当时（约西元前三世纪）古希腊已知（包括学自古埃及和巴比伦人的）的几何知识加以整理，并赋与抽象化的概念，然后以十个公理为基础，建立了一套逻辑论理的几何体系。
几何原本在世界文明史上是独一无二的，如果以它的形式和内涵作为标准的几何知识系统，那麼，古中国的几何学显然是不够标准的。但是，虽然有此一缺憾和不足，古中国的数学家却仍能独辟蹊径，从面积、体积和测量的一些零碎结果中，总结一些深刻的原理，然后将面积、体积公式加以贯穿，构成一套颇能自圆其说的几何理论。底下，我们就先从面积、体积公式谈起。
古代中国的面积、体积公式
中国古代的面积、体积公式主要记载在东汉初成书的「九章算术」（见图一）内，后世数学家研究面积和体积均以此书为圭臬。根据研究，这本书是周秦以迄东汉初数学知识的总结，因此，所记载的面积、体积公式颇能反映当时的社会需要。这些公式计有：
一、面积部分（都记载在该书卷一「方田章」内）。
(一)长方形（直田）：「广从步数相乘（得积步）」。(二)等腰三角形（圭田）：「半广以乘正从」。(三)梯形（邪田）：「并两邪而半之，以乘正从」。(四)一种称做箕田的四边形：「并踵舌而半之，以乘正从」。(五)圆形（圆田）：「半周半径相乘」。(六)球帽形（宛田）：「以径乘周，四而一」。(七)弓形（弧田）：「以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一」。(八)环形（环田）：「并中外周而半之，以径乘之」（见图二）。
二、体积部分（除球体积公式外，其余均记载於该书卷五「商功章」内）。
(一)城、垣、堤、沟、堑、（穿）渠等各种按不同用途而称呼的楔的平截体（事实上，是以梯形为底的一种角柱体）：「并上下广而半之，以高（若深）乘之，又以袤乘之，即积尺」。(二)长方体（仓）：「广、袤、高相乘」；另一种长方体称做方堡壔，是以正方形为底的角柱体：「方自乘，以高乘之，得积尺」。(三)圆柱体（古称圆堡壔或圆囷）：「周自相乘，以高乘之，十二而一」。(四)截顶方锥（方亭、方台）：「上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一」。(五)截顶圆锥（圆台、圆亭）：「上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一」。(六)方锥（即以正方形为底的角锥，我国古代即称方锥）：「下方自乘，以高乘之，三而一」。(七)圆锥（我国古代亦称圆锥、委粟、委菽或委米等）：「下周自乘，以高乘之，三十六而一」。(八)以直角三角形为底的角柱体（古称堑堵）：「广袤相乘，以高乘之，二而一」。(九)一种以长方形为底，且一条侧稜线垂直於底面的（斜）角锥体（古称阳马）：「广袤相乘，以高乘之，三而一」。(十)一种四面体，具有一个（底）面为直角三角形，并有一条侧稜线垂直於此底面，古称臑：「广袤相乘，以高乘之，六而一」。(十一)一种楔形体具有一个等腰梯形的底面，并有一个侧面垂直此底，古称羡除：「并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一」。(十二)一个具有长方形底面的楔形体，古称刍甍：「倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一」。(十三)以长方形为底的截顶角锥体，古称刍童、曲池、盘池及冥谷：「倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并以高（若深）乘之，皆六而一」。(十四)球（古称丸）的体积公式并未明白地列出，但据「九章算术」卷四最后一题开立图术说：「置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径」。可以推知该书所使用的球体积公式，应该是球直径的三次方，乘以九，再除以十六而得（见图三）。
「九章算术」以后，有关面积、体积公式的数目便没有实质的增加。事实上，魏晋南北朝时代的数学著作如「孙子算经」、「五曹算经」（见图四）、「夏侯阳算经」、「张邱建算经」，隋唐时代的算书如「缉古算经」，宋金元三代的「数学九章」、「田亩比类乘除捷法」、「续古摘奇算法」及「算学启蒙」（见图五）等书中，虽都列有面积公式，但大都重覆「九章算术」的题材，了无新意。宋金元时代的数学家如秦九韶（南宋）、李治（金）及朱世杰（元）等人，虽在代数学上创造了数学史上极辉煌且先进的成就，可惜，在面积知识上也没有什麼进展，值得一提的，只有秦九韶在他的著作「数学九章」中所给出的一般三角形面积公式：设三角形三边长为a、b、c，则
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很容易证明此一公式与古希腊的Heron公式
三角形面积＝〔s(s-a)(s-b)(s-c)〕1/2，
其中s=1/2(a+b+c)，是等价的，但秦氏怎麼得到的，并没有清楚地告诉我们。此外，还有一个四边形面积公式，则是结合「九章算术」中的三角形面积公式与上述公式所导出的，不过，也没有赋与证明。这个公式可用现代符号叙述如下：已知四边形ABCD四边长分别为a、b、c、d，AE⊥CD，且AE=h（见图六），则
AC2=〔c-(d2-h2)1/2〕2+h2
四边形ABCD面积
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至於在体积公式方面，则「九章算术」之后值得介绍的也只有两个。其一乃是唐代数学家王孝通在他的著作「缉古算经」所给出的一个堤坝的体积公式（见图七）；另一个则是秦九韶在「数学九章」所给的一个楔形的截体之体积公式（见图八），不过也一样缺乏创意。
本文标题所谓的「古代」，作者从权断在明末，理由是自从1607年徐光启与利玛窦合译「几何原本」前六卷以后，中国数学家在著述体例上，或多或少都受到一点影响。所以，在此实有必要提及1607年以前，最后一本延续中算传统的著名数学作品「算法统宗」（程大位撰）。这部书的体积公式都是前代所有，不足为奇，而在面积公式方面，虽然所处理的图形略有增加，比方前所未见的眉田、方田减圭形、圭田减圭形、牛角减弧矢形、斜田并圭形、二句股并形、二圭并弧矢形及方减圭弧形（见图九）等等，不过这些都可以「截作几段凑〔成已知面积的图〕形」（程大位语，中括号〔〕内文字系作者所加），在面积知识的拓广上并无贡献。甚至有些可以运用精确公式处理的，比方等边三角形的面积，竟然为配合珠算盘的计算而给出近似公式（见算法统宗卷三方田章）。
由以上的叙述，我们可以发现中国古代的面积、体积知识有如下的几点特色：
一、「九章算术」的公式一般化程度不够，如圭田、邪田等等，仅是比较特殊的情形，而实用需要应能提供一般的三角形、梯形题材，何以不列？莫非「九章算术」真的仅以官僚算术手册自足？
二、保有丰富的实用面貌，如各图形名称，且未将术语和概念抽象化，所以分类不够精确。
三、对曲线形的处理能力不足，不过都能给出近似公式，如球帽形、弓形及球体、圆柱体、圆锥体等，充分反映了实用的特色。
四、题材受「九章算术」囿限，后世数学家如魏晋的刘徽、南北朝的祖冲之，於几何理论虽有卓识与创发，但始终未能实质地多处理一些不同类形的图形。诚如数学史学者华格纳（D.B.Wagner）所说的：「……在此我们可以看到九章算术崇高威望的双重影响：它提供（创作所需要的）一种挑战和灵感；但经常也是一件狭窄的外套，局限了数学家对某些特异问题的兴趣。」
古代中国的几何学理论
「九章算术」的著述体例中只有问题、答案及解法，而对其解法所依据的原理并没有进一步地说明，此一缺憾与不足是由刘徽加以弥补的。
刘徽是魏晋时人，生平事迹均不详。史家推断他可能是从魏陈留王景元四年（西元263年）开始注解「九章算术」。其注解动机如他自己所说（见刘徽九章算术注原序）：「事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而成周，通而不黩，览之者思过半矣。」似乎是与东汉古文学派学风——通理明究——遥相呼应；事实上，诚如历史学者逯耀东所认定的古文派学者对经传「通理明究」，就是树立有系统的解释经典之体系，而这对魏晋时期的经典解释也有直接的影响。因此，刘徽能将「九章算术」的几何知识赋与一个体系，一方面固足以说明他对某些几何学本质的卓越体认，另一方面，或许也可视为整个文化风潮的产物。
刘徽体系中的主要骨架是出入相补原理。所谓出入相补，就是将几何图形从一处移至他处，而保持面积或体积不变的一种几何变换。在一开始注解面积公式时，刘徽应用了形式上比较简单的「以盈补虚」，比方他在证明圭田面积为「半广以乘正从」时，曾说：「半广者，以盈补虚为直田也；亦可半正从以乘广」（见图十及图十一(l)），至於对邪田面积为「并两邪而半之，以乘正从。」，则说：「并而半之者，以盈补虚也。」（见图十一(2)）而在「证明」勾股定理（或毕氏定理）：「勾股各自乘，并而开方除之，即弦。」时，刘徽注：「勾自乘为朱方，股自乘为青方。令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也。」也足以说明他应用了出入相补原理来「证明」勾股定理，可惜刘徽原图失传，使得我们无法了解他的本意。不过，比他稍早的三国孙吴数学家赵爽，却曾使用一个称做「弦图」的图形（见图十二）「证明」了勾股定理（见他注「周髀算经」时所写的「勾股圆方图注」（见图十三），其方法本质上也是出入相补（见图十四）。另外，刘徽还应用出入相补证明直角三角形的最大内接正方形边长s，及内接圆直径d分别为
s=ab/(a+b)；a=2ab/(a+b+c)，
其中a、b、c分别为直角三角形的勾、股、弦三边，读者如想了解其证法，请参考拙文「刘徽与出入相补原理」，刊於科月11卷10期，此处限於篇幅，不再重复。
刘徽的出入相补在体积理论上表现得尤为出色。除了证明楔的平截体（见图三(1)）的体积公式：「并上广而半之，以高（若深）乘之，又以袤乘之，即积尺。」时，仍然运用「以盈补虚」外，其余概用出入相补。在此，刘徽特别引用四种他称之为「棋」的基本立体模型，用来拚凑立体图形。这四种棋分别是一、立方（包括正立方体、长方体）；二、堑堵（斜割立方得二个堑堵），体积为立方的1/2；三、阳马（再斜割堑堵得阳马、臑各一），体积为立方的1/3；四、臑，体积为立方的1/6。（见图十五）在证明方亭（台）的体积公式（见图三(4)）为h/3(ab+a2+b2)时，刘徽先把方亭分割成中间1个立方，四面4个（全等的）堑堵，四角4个（全等的）阳马（见图十六），然后发现abh+a2h+b2h恰好使用了27个棋，其中3个立方，12个堑堵，12个阳马可以拚成3个（全等的）方亭，得证方亭体积为h/3(ab+a2+b2)。（详细论证请读者参考「刘徽与出入相补原理」一文。）其他体积公式如羡除、刍甍、刍童等，也都是仿此而加以证明。
刘徽方法论最深刻之处，则是表现在求证阳马和臑的体积公式上。他结合了出入相补和极限原理，证明由同一个长方体所分割出来的阳马和臑之体积比为2：1，从而得证阳马体积为1/3abh，臑体积为1/6abh。仅凭出入相补原理，通常是办不到的，这也正是著名的希尔伯特二十三个问题中的第三个问题之症结所在。这个问题可简述如下：「不可能只用到几何图形的全等公理来证明，同底等高的两个四面体的体积相等。」比方，在空间中，以（0,0,0）、（1,0,0）、（0,1,0）及（0,0,1）为顶点的四面体，和以（0,0,0）、（1,0,0）、（0,1,0）及（0,1,1）为顶点的四面体（见图十七），就无法只运用出入相补或全等公理证明它们的体积相等（都是1/6）。由此可见，刘徽在这一方面的构想，不仅睿智，简直可以称得上先进了。读者如想了解刘徽的论证方法，可参阅九章算术卷五第十五题刘徽注文（见图十八、十九、二十、二十一），及「刘徽与出入相补原理」一文。
接著，我们再来看看刘徽如何证明曲线形的面积、体积公式。对於前者，刘徽采用逼近法；而对於后者，则采用祖氏（或卡瓦列利）原理。「九章算术」所列二维曲线形共有圆形、弓形、球盖形及环形，其中圆形和环形面积公式完全正确。刘徽所采用的一种逼近法——割圆术，实际并未能证明圆面积公式为正确，仅能求得圆周率π的近似值；也未能求出弓形的面积公式，这都是方法论不足所致。而用方锥侧面积去逼近球盖形表面积，则更显得疏漏，能否解决此一问题，恐怕也大有疑问。（参见「九章算术」卷一第三十四题刘徽注文）
相形之下，刘徽证明曲线形体积公式时，就灵巧多了。「九章算术」内所列立体曲线形共有圆柱体、截顶圆锥体、圆锥体及球体。其中在证明截顶圆锥体（圆亭）体积公式时，很明白地指出：「从方亭求圆亭之积，亦犹方幂中求圆幂，乃令圆率三乘之，方率四而一，得圆亭之积。」也就是说（见图二十二）：截顶圆锥体积：截顶方锥（方亭）体积＝圆幂：方幂＝3：4，（注意此处取π=3），然后即可得证截顶圆锥体的体积了。上述这个比例式就是祖氏原理的一种形式，刘徽还运用它证明了圆锥体的体积公式（见图二十三），可惜，更简易的圆柱体体积公式，他并未加以证明。对於球体积公式，刘徽首先分析「九章算术」的构想（见图二十四）乃是由
圆柱体体积：外切立方体积=π(3)：4，
内切球体积：圆柱体体积=π(3)：4，
得（内切）球体积=9/16×外切立方体积
=9/16×(球直径)3
然后指出第二个比例式错了，所以连带地影响球体积公式的正确性。刘徽最后指出正确的比例式应该是：
内切球体积：牟合方盖体积=π(3)：4
但是他算不出牟合方盖的体积，所以，只好「以俟能言者」，结果由祖冲之、祖父子解决了。
所谓牟合方盖，是指中轴线在中点垂直相交的两个全等圆柱体的交集（见图二十五）。祖冲之父子应用祖氏原理：「夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。」成功地求得
牟合方盖体积：外切立方体积＝2：3
但是外切立方体边长恰为球直径，因此，
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其中r为球半径。此一公式虽较古希腊阿基米德晚得到，但在数学史上明文写出祖氏原理的第一人，却是五世纪的祖冲之，而不是十六世纪的卡瓦列利（Cavalieri，1598～1647），因此，我们改称它为「祖氏原理」是恰当的。
祖氏父子可以说是解决了中国古代几何学的最后难题，隋唐之后，便无以为继了。像前述王孝通和秦九韶的体积公式，都只是解方程式的附庸，并没有独立给出，其实「数学九章」中的面积公式又何尝不然？秦九韶在该书卷三「田域」章序文中说：「按此卷以方圆斜直幂积相求，即方田少广勾股诸法，而术中累乘累除，错综变换，与常法回。然其本则出於立天元一法，今择其难解者，以立天元一法明之，皆不攻自破矣。」给我们的印象乃是这些几何问题，仅仅是他造方程式的依据而已，它们的几何理论并不在考虑之内。不过，即使纯以介绍几何公式的，水准也不高，甚至还有倒退的现象。比方秦九韶使用近似值π=√10，对弓形面积的刘徽精密求法视若无睹，以及朱世杰在他的著作「算学启蒙」中，居然照抄「九章算术」的错误球体积公式，这些都足以说明宋元伟大数学家如秦九韶与朱世杰，根本无法在刘、祖二氏的基础上继续发展几何学，尽管他们在十三世纪创造了代数学的高峰。
从以上冗长的叙述，我们可以发现对几何学有贡献大概不出赵爽、刘徽与祖冲之父子等人。而贡献最大的则是刘徽，他运用出入相补原理和极限原理，去贯穿面积和体积公式，可以说建立了一个堪称圆满的几何知识体系。由於他在几何学上的成就后世无人能够超越，因此，他的方法论中的不足之处，也跟著没有人能够补足，这实在是中国数学史上的一大憾事。
然则刘徽的方法论中到底欠缺了什麼？显然是间接证法的逻辑和逼近法的精确概念，这两者使欧几里得得以把圆面积公式证明出来。中国古代数学本体论（如果有的话）似乎对定性的结果不够重视，因此，对「形」的本质之探索也就缺乏强迫性的动机，而墨、名二家的逻辑未再进一步发展，似乎也无法提供足够的数学演证工具。所有这些，都可能是刘徽无法挣脱「九章算术」格局，创造一个全新的著述体例之主要因素。另外，由於刘徽的几何学未能形式化，所以当实用不能提供新的几何问题时，刘徽的理论当然也不足以衍生新问题，几何学遂被迫走上势微之途。
结语
正如其他古文明民族一样，古中国的几何学也是源自实用，但若论其风格，则并非全然实用，刘徽、祖冲之父子的成就即是很好的证明。他们都是魏晋南北朝时代的人物，当时「个人」意识抬头，数学家不再纯为官僚用途服务，而对知识的探求有一股清新的爱好，因此乃能创造出几何学的全盛时期。
但是，由於本体论和方法论的不足，使得这一套几何学无法像「几何原本」一样，发展成为一种形式理论的典范。所以，当中国古代数学的「定量」成果达到饱和时，便因为缺乏典范的导引，无法朝「定性」（形式化）的方向迈进，从而脱胎换骨成为近代型的理论。十三世纪的中国代数学向上突破的瓶颈，或有可能就是这种本体论和方法论的匮乏所造成的。
周自相乘,以高乘之,十二而一是什么意思
底面周长的平方乘高，再除以12.
试述中国古代数学的特点
《九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成.中国古代数学在三国及两晋时期侧重于理论研究，其中以赵爽与刘徽为主要代表人物.赵爽是三国时期吴人，在中国历史上他是最早对数学定理和公式进行证明的数学家之一，其学术成就体现于对《周髀算经》的阐释.在《勾股圆方图注》中，他还用几何方法...
古代几何知识来源于实践,在不同的地区,不同的几何学的实践来源不...
古代中国几何学：古代中国的几何学与农业、手工艺和建筑等实际活动密切相关。例如，为了测量土地、规划水利工程或制作准确的陶瓷器皿，中国古代工匠和学者发展了一些实用的几何方法。此外，中国古人还通过观察天文现象，如月食和日食，来推算地球的形状和大小。古代印度几何学：古代印度的几何学与宗教和哲学紧密...
中国古代的算学成就
汉唐时期，出现了《周髀算经》与《九章算术》等重要著作。《周髀算经》约成书于公元前1世纪，是现存最古老的天文学和数学著作之一。《九章算术》系统总结了战国、秦汉时期的数学成就，是当时世界上最简练有效的应用数学，标志着中国古代数学形成了完整的体系。南北朝时期的数学家祖冲之，首次将圆周率精算到...
中国古代的算学成就
《九章算术》系统总结了战国、秦汉时期的数学成就，是现存最完整的数学专著，也是当时世界上最简练有效的应用数学。它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系。《九章算术》的独特成就包括：“最早提到分数问题，首先记录了盈不足等问题，还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。”南北朝时期的...
中国古代为什么没发展几何学和三角学呢?学数学的来讲讲。
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为什么中国古代人擅长哲学,而西方人擅长几何学
西方人重视逻辑表达,善于抽象表达,所以几何学发达 换句话说,西方数学中的数字是把客观存在的物质与事物,高度抽象成为量值.东方数学则是用数字表达自然中客观存在的具体事物与物质.比如《九章算术》,作为中国古代数学的框架,以计算为中心的特点,密切联系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格....
几何学的发展历史
几何一词源于《几何原本》的翻译。《几何原本》是世界数学史上影响最为久远，最大的一部数学教课书。《几何原本》传入中国，首先应归功于明末科学家徐光启。徐光启和利玛窦《几何原本》中译本的一个伟大贡献是确定了研究图形的这一学科中文名称为“几何”，并确定了几何学中一些基本术语的译名。“几何”...
在古代几何学中有关规、矩的历史具体是怎样解释的?
中国几何学以测量和计算面积、体积的量度为中心任务，而古希腊的传统则是重视形的性质与各种性质间的相互关系。欧几里得的《几何原本》，建立了用定义、公理、定理、证明构成的演绎体系，成为近代数学公理化的楷模，影响遍及于整个数学的发展。特别是平行公理的研究，导致了19世纪非欧几何的产生。
谈谈中国古代的数学成就
4、割圆术。所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。5、圆周率。魏晋时， 刘徽曾用使正多边形的边数逐渐增加去逼近圆周的方法(即“割圆术”)，求得π...