谁能用两种方法证明组合公式C(m,n)=C(m,n-1)+C(m-1,n-1)

公式似乎不对。 若C(m,n+1)表示m个东西中取出n+1个东西的取法数目，则公式应该是C(m,n+1)=C(m-1,n+1)+C(m-1,n)。证明：设m个东西标号为1,2,,m-1,m。把取法分成两类，一类不取m，则要在剩下的m-1个东西中取n+1个，有C(m-1,n+1)种取法；另一类要取m，则还要在剩下的m-1个东西中再取n个，有C(m-1,n)种取法。这就证明了C(m,n+1)=C(m-1,n+1)+C(m-1,n)。 追问： 哦 我第一次问这个问题，可能括号里的格式错了吧 。 回 满意就好。满意，！ 追问： C （m是 上标 ，n+1是下标）。

（1）几个知识点：(!)C(m,n)=n!/[m!*(n-m)!].(!!)(m+1)!=(m+1)*m!.(2)证明：因C(m,n)=n!/[m!*(n-m)!]=[(n+1-m)*n!]/[m!*(n+1-m)!].C(m-1,n)=n!/[(m-1)!*(n+1-m)!]=[m*n!]/[m!*(n+1-m)!].故右边=C(m,n)+C(m-1,n)={[(n+1-m)*n!]/[m!*(n+1-m)!]}+{[m*n!]/[m!*(n+1-m)!]}={n!*[(n+1-m)+m]}/[m!*(n+1-m)!]=(n+1)!/[m!*(n+1-m)!].显然，左边=C(m,n+1)=(n+1)!/[m!*(n+1-m)!].故左边=右边，即C(m,n+1)=C(m,n)+C(m-1,n).

C(m,n)=A(m,n)/A(m,m) (1)
C(m-1,n)=A(m-1,n)/A(m-1,m-1) (2)
m*A(m-1,n)+A(m,n) A(m,n+1)-A(m,n)+A(m,n)
而(1)+(2)=----------------------=--------------------------
A(m,m) A(m,m)
A(m,n+1)
=-------- 即 C(m,n+1)
A(m,m)

看不懂?好吧,来个粗俗的
(n+1)*n*(n-1)*...*(n+2-m)
C(m,n+1)=------------------------- (3)
1*2*3*...*m
n*(n-1)*...*(n-m+1)
C(m,n)=------------------- (4)
1*2*3*...*m
n*(n-1)*...*(n-m+2)
C(m-1,n)=------------------------- (5)
1*2*3*...*(m-1)
n*(n-1)*...*(n-m+2)*(n-m+m+1) n*(n-1)*...*(n-m+2)*(n+1)
(4)+(5)=-------------------------------=--------------------------=(3)
1*2*3*...*m 1*2*3*...*m
哎,中途打错了推了半天不对,郁闷

C(m,n+1)=(n+1)!/m!(n+1-m)! (1)

C(m,n)=n!/m!(n-m)! (2)
C(m-1,n)=n!/(m-1)!(n-m+1)! (3)
只要将(2),(3)相加合并便得到（1），所以原式成立

C(m,n)=n!/m!(n-m)! =n!(n-m+1)/m!(n+1-m)!
C(m-1,n)=n!/(m-1)!(n-m+1)! =n!m/m!(n+1-m)!
2式相加得：
n!(n-m+1)/m!(n+1-m)! +n!m/m!(n+1-m)!
= n!(n+1)/m!(n+1-m)! =C(m,n+1)

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