数列求和的并项求和

并项求和常采用先试探后求和的方法。
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
方法一：（并项）
求出奇数项和偶数项的和，再相减。
方法二：
（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]
方法三：
构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。
an=n(-1)^（n+1）

扩展资料：
1、公式求和法：
①等差数列、等比数列求和公式
②重要公式：1+2+…+n= 12 n（n+1）；
1 2 +2 2 +…+n 2 = 16 n（n+1）（2n+1）；
1 3 +2 3 +…+n 3 =（1+2+…+n） 2 = 14 n 2 （n+1） 2 。
2、裂项求和法：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f（n+1）-f（n），然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法．用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：a n = 1( A n +B)( A n +C) = 1C-B （ 1A n +B - 1An+C ）； 1n(n+1) = 1n - 1n+1 。
3、错位相减法：对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错位相减法．a n =b n c n ，其中{b n }是等差数列，{c n }是等比数列。
4、倒序相加法：S n 表示从第一项依次到第n项的和，然后又将S n 表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到S n 的一种求和方法。
参考资料来源：百度百科-数列求和

一般数列的求和方法
(1)直接求和法，如等差数列和等比数列均可直接求和．
(2)部分求和法将一个数列分成两个可直接求和的数列，而后可求出数列的前n项的和．
(3)并项求和法将数列某些项先合并，合并后可形成直接求和的数列．
(4)裂项求和法将数列各项分裂成两项，然后求和．
(5)错位相减求和法．用Sn乘以q，若数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则求数列{anbn}的前n项的和均可以采用此方法．
(6)拟等差，写成一堆式子再相加。（叠加)
（7）累乘法

1. 公式法：　　等差数列求和公式:
　　Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
　　等比数列求和公式：
　　Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
　　其他
　　1+2^2+3^2+4^2+........+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
　　1+2^3+3^3+4^3+........+n^3=[n(n+1)/2]^2
2.错位相减法
　　适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 和等差等比数列相乘 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
　　例如：
　　an=a1+(n-1)d
　　bn=b1·q^(n-1)
　　Cn=anbn
　　Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
　　qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
　　Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
　　Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) ______①
　　=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
　　=a1b1-(a1+nd-d)·b1q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
　　Tn=上述式子/(1-q)
　　此外.①式可变形为
　　Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(Sn-b1) Sn为{bn}的前n项和.
　　此形式更理解也好记
3.倒序相加法
　　这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)
　　Sn =a1+ a2+ a3+...... +an
　　Sn =an+ a(n-1)+a(n-2)...... +a1
　　上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2
4.分组法
　　有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
　　例如：an=2^n+n-1
5.裂项法
　　适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
　　常用公式：
　　（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ，1/（n-1）-1/n<1/n2<1/n-1/n+1（n≥2）
　　（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
　　（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
　　（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
　　（5） n·n!=(n+1)!-n!
　　（6）1/（√n+√（n+a））=1/a（√（n+a）-√n）
　　[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
　　解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
　　则
　　Sn
　　=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
　　= 1-1/(n+1)
　　= n/(n+1)
　　小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
　　注意： 余下的项具有如下的特点
　　1余下的项前后的位置前后是对称的。
　　2余下的项前后的正负性是相反的。
6.数学归纳法
　　一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：
　　（1）证明当n取第一个值时命题成立；
　　（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
　　例：
　　求证：
　　1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
　　证明：
　　当n=1时，有：
　　1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5
　　假设命题在n=k时成立，于是：
　　1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
　　则当n=k+1时有：
　　1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
　　= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
　　= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
　　= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)
　　= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
　　即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证
7.通项化归
　　先将通项公式进行化简，再进行求和。
　　如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。
8.并项求和：
　　例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
　　方法一：（并项）
　　求出奇数项和偶数项的和，再相减。
　　方法二：
　　（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

主要这几种方法：定义法（等差数列和等比数列）、叠加法、错位相减法（一个等差数列乘以一个等比数列）、分组求和法（一般是一个等比数列加上一个等差数列）、裂项相消法（如1/(1*2）+1/(2*3)+……+1/n(n+)=1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1) 其实就是运用了公式：
1/n(n+1）=1/n-1/(n+1) 这就是裂项）、套用公式法（如已知an=n^2 求sn ，便可运用公式：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1) 这种只能靠记住一下常用公式）除此之外，还有其他的一些方法，靠你在实战中去不断总结吧！

叠加法，叠乘法，待定系数法，取对法，枚举法，公式法，分组求和，倒序求和，错项相减，裂项相消。

1，采用等差等比数列的求和公式
2.倒序相加法
3裂项相消
4等差与等比相乘的采用错位相减法

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