已知数列｛an｝满足a1=1,an=3的n-1次方+an-1（n≥2）

（1）求a2,a3;
a2=3^(2-1)+a1=3+1=4
a3=3^(3-1)+a2=9+4=13

(2）求证an=(3的n次方-1）/2
an=3的n-1次方+an-1
an-a(n-1)=3^(n-1)
=>
a2-a1=3^1
a3-a2=3^2
a4-a3=3^3
a5-a4=3^4
......
an+-n-1=3的n-1次方
以上各式相加
a2-a1+a3-a2+a4-a3+a5-a4+...+an-an-1=3+3^2+3^3+3^4+.....+3^(n-1)
左边相互抵消，右边是等比数列
an-a1=3(1-3^(n-1))/(1-3)=3/2*(3^(n-1)-1)
an=1+3/2*(3^(n-1)-1)
=(3的n次方-1）/2
得证

已知数列{a‹n›}中a₁=1，a‹n›=3ⁿֿ¹+a‹n-1›（n≥2)求通项公式a‹n› 在线等
解：a‹n›-a‹n-1›=3ⁿֿ¹，将n=2，3，4，.......，n依次代入得：
a₂-a₁=3¹
a₃-a₂=3²
a₃-a₄=3³
...............
a‹n›-a‹n-1›=3ⁿֿ¹
______________+
a‹n›-a₁=3¹+3²+3³+3⁴+.......+3ⁿֿ¹
即a‹n›=1+3¹+3²+3³+3⁴+.......+3ⁿֿ¹=(3ⁿ-1)/(3-1)=(1/2)(3ⁿ-1)
注：1+3¹+3²+3³+3⁴+.......+3ⁿֿ¹是一个首项a₁=1，公比q=3的等比数列的前n项之和，直接套
公式：S‹n›=a₁(qⁿ-1)/(q-1)，这里的S‹n›就是上式的a‹n›.

根据an=an-1 +1/n(n-1)可知：
a1=3=(4-1)/1

a2=a1+1/(2*1)=3+1/2=7/2=4-1/2
a3=7/2+1/(3*2)=22/6=11/3=4-1/3
a4=11/3+(4*3)=45/12=15/4=4-1/4
所以，我们可以先假设an=(4n-1)/n=4-1/n，
那么an=an-1+1/n(n-1)=4-1/(n-1)+1/n(n-1)=4-(n-1)/n(n-1)=4-1/n
所以上述假设成立，此数列的同项公式为4-1/n

∵1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n
又∵an=a(n-1) +1/[n(n-1)] (n≥2)
∴an=a(n-1)+1/(n-1)-1/n
即an+1/n=a(n-1)+1/(n-1)
∴[an+1/n]/[a(n-1)+1/(n-1)]=1
又∵当n=1时，an+1/n=3+1=4
∴数列{an+1/n}是都为4的常数列
即an+1/n=4
∴an=4-1/n (n≥1)

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原式等价于： an=an-1+1/(n-1)-1/n;
所以 an+1/n=an-1+1/(n-1);
设an+1/n=bn,n>=2;
所以 bn=bn-1;
因为b1=a1+1/1=4;
所以 bn=4,n>=1;
所以an=bn-1/n=4-1/n,n>=2;
因为 a1=4-1/1=3,所以an=4-1/n,n>=1;

首先我们可以通过an=an-1+1/n(n-1)变形得到an-an-1=1/(n-1)-1/n
再有这个式子得到

a2-a1=1-1/2
a3-a2=1/2-1/3
………………
an-an-1=1/(n-1)-1/n
将上面的n-1个式子累加就会得到an-a1=1-1/n
又因为a1=3
所以an=4-1/n

an-a(n-1)=1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n
a(n-1)-a(n-2)=1/(n-2)-1/(n-1)
...
a3-a2=1/2-1/3
以上各相加得到an-a2=1/2-1/n
a2=a1+1/(2*1)=3+1/2=7/2
an=a2+1/2-1/n=4-1/n

...an=a(n-1)+2^(n-1)(n≥2,n∈N※) (1)求数列{an}的通项公式 及前n项...
答：∴上述等式叠加可得：an=a1+(2^1+2^2+...+2^(n-1))∵a1=3，∴an=3+2(2^(n-1)-1)=1+2^n ∴Sn=n+(2^1+2^2+...+2^n)=n+2(2^n-1)=2^(n+1)+n-2 （2）∵bn=1/an*a(n+1)=1/[(1+2^n)(1+2^(n+1))]∴2^(n-1)bn=2^(n-1)/[(1+2^n)(1+2...

已知数列{an}满足a1=3,an=an-1 +1/n(n-1)(n≥2),那么此数列的通项公式...
答：根据an=an-1 +1/n(n-1)可知：a1=3=(4-1)/1 a2=a1+1/(2*1)=3+1/2=7/2=4-1/2 a3=7/2+1/(3*2)=22/6=11/3=4-1/3 a4=11/3+(4*3)=45/12=15/4=4-1/4 所以，我们可以先假设an=(4n-1)/n=4-1/n，那么an=an-1+1/n(n-1)=4-1/(n-1)+1/n(n-1)=...

已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+3,求{an}的通项公式。
答：解：因为a(n+1)=2an+3故：a(n+1)+3=2（an+3）故；[a(n+1)+3]/ （an+3）=2故：(a2+3)/(a1+3)=2(a3+3)/(a2+3)=2(a4+3)/(a3+3)=2……（an+3）/[a(n-1)+3]=2左右两边相乘：（an+3）/(a1+3)=2^(n-1)因为a1=3故：an+3=3×2^n故：an=3×2^n-3 ...

已知数列{an}满足a1=3,ana(n-1)=2a(n-1)-1,(1)求a2,a3,a4 (2)证明数...
答：解：∵a[1]=3，a[n]a[n-1]=2a[n-1]-1 ∴a[n]=2-1/a[n-1]∴a[2]=5/3，a[3]=7/5，a[4]=9/7 证明：∵a[n]=2-1/a[n-1]∴采用不动点法，令：x=2-1/x 即：x^2-2x+1=0 ∴x=1 ∵a[n]=2-1/a[n-1]∴a[n]-1=2-1/a[n-1]-1 【使用不动点1】...

已知数列an满足a1=3,An+1=2An+2^n (1)求证数列[An/2^n]是等差数列 (2...
答：a(n+1)/2^(n+1)-an/2ⁿ=1/2,为定值.a1/2=3/2,数列{an/2ⁿ}是以3/2为首项,1/2为公差的等差数列.(2)an/2ⁿ=(3/2)+(n-1)/2=n/2 +1 an=2ⁿ(n/2 +1)=n×2^(n-1) +2ⁿn=1时,a1=1×2^0 +2=1+2=3,同样满足.数列{an}的通...

己知数列{an}满足a1=3,an+1=an+3n2+3n+2一1/n(n+1),n£N
答：{a(n)-(n-1)n(n+1)-2n - 1/n}是首项为a(1)-2-1 = 0,的常数数列。a(n) - (n-1)n(n+1) - 2n - 1/n = 0,a(n) = (n-1)n(n+1) + 2n + 1/n = n[n^2 + 1] + 1/n = [n^2(n^2 + 1) + 1]/n ...到这里，和楼主的答案一样。。1/a(n) = ...

已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+3n,n∈N+.求证:a2是a1,a3的等比中项,求...
答：a(n+1)=an+3n an - a(n-1) =3(n-1)an -a1 = 3[1+2 +...+(n-1) ]an=3n(n-1)/2 +3 a2 = 3+3 =6 a3 = 9+3 =12 a1.a3 = 3(12) =36 (a2)^2 =36 a1.a3 = (a2)^2 => a2是a1,a3的等比中项 a1.a3=(a2)^2 ...

已知数列{an}满足a1=3,anan-1=2an-1-1,(1)求证{1/an-1}是等差数列
答：所以， d=1.是以公差为1的等差数列。（你如想顺着证明，倒回去即可。这方法从问题出发，容易给你思路）（2）所以，1/(an-1)=1/(a1 -1) +n-1, a1=3 得到： an=(2n+1)/(2n-1)所以：bn=1/(2n-1)(2n+1)拆分得：bn=0.5[1/(2n-1) - 1/(2n+1)]所以，Sn=b1+b2+b3...+...

已知数列{an}中,a1=3,an+1+an=3*2^n,n∈N*),证明数列{an-2^n}是等比...
答：∵a1=3,an+1+an=3*2^n,n∈N*)∴a(n+1)=3*2^n-an ∴[a(n+1)-2^(n+1)]/(an-2^n)=[3*2^n-an-2*2^n]/(an-2^n)=(2^n-an)/(an-2^n)=-1（常数定值）∴数列{an-2^n}是等比数列。【公比为-1】

已知数列an满足a1=3,an=2-1/an-1(n≥2),①求a2,a3,a4②求证:数列1/(
答：a(n+1) - 1 = 1 - 1/a(n) = [a(n)-1]/a(n),若a(n+1)=1,则，a(n)=1, ..., a(1)=1,与a(1)=3矛盾。。因此， a(n) 不为1。1/[a(n+1) - 1] = a(n)/[a(n) - 1] = [a(n)-1+1]/[a(n)-1] = 1/[a(n)-1] + 1,{1/[a(n)-1]}是首项...