用Theis公式识别含水层参数
Theis公式既可以用于水位预测，也可以用于求参数。当含水层水文地质参数已知时，可进行水位预测，也可预测在允许降深条件下井的涌水量。反之，可根据抽水试验资料来确定含水层的参数。这里着重介绍下列几种求参数的方法：
1.配线法
（1）原理
对（4—11）和（4—10）式两端取对数：
地下水动力学（第二版）
二式右端的第二项在同一次抽水试验中都是常数。因此，在双对数坐标系内，对于定流量抽水 曲线和 标准曲线在形状上是相同的，只是纵横坐标平移了 和 的距离而已。只要将二曲线重合，任选一匹配点，记下对应的坐标值，代入（4—10）式（4—11）式即可确定有关参数。此法称为降深－时间距离配线法。
同理，由实际资料绘制的s-t曲线和s-r2曲线，分别与 和W（u）-u标准曲线有相同的形状。因此，可以利用一个观测孔不同时刻的降深值，在双对数纸上绘出s-t曲线和 曲线，进行拟合，此法称为降深－时间配线法。
如果有三个以上的观测孔，可以取t为定值，利用所有观测孔的降深值，在双对数纸上绘出s-r2实际资料曲线与W（u）-u标准曲线拟合，称为降深－距离配线法。
（2）计算步骤
①在双对数坐标纸上绘制W（u）－1/u的标准曲线。
②在另一张模数相同的透明双对数纸上绘制实测的s-t/r2曲线或s-t曲线。
③将实际曲线置于标准曲线上，在保持对应坐标轴彼此平行的条件下相对平移，直至两曲线重合为止（图4—4）。
图4—4 降深－时间距离配线法
④任取一匹配点（在曲线上或曲线外均可），记下匹配点的对应坐标值：W（u）， ，s和 （或t），代入（4—11），（4—10）式，分别计算有关参数。
地下水动力学（第二版）
配线法的最大优点是，可以充分利用抽水试验的全部观测资料，避免个别资料的偶然误差，提高计算精度。但也存在一定的缺点：第一，抽水初期实际曲线常与标准曲线不符。因此，非稳定抽水试验时间不宜过短。第二，当抽水后期曲线比较平缓时，同标准曲线不容易拟合准确，常因个人判断不同引起误差。因此在确定抽水延续时间和观测精度时，应考虑所得资料能绘出s-t或 曲线的弯曲部分，便于拟合。如果后期实测数据偏离标准曲线，则可能是含水层外围边界的影响或含水层岩性发生了变化等。这就需要把试验数据和具体水文地质条件结合起来分析。有关边界的影响，以后还要专门论述。
例题4—1：承压含水层多孔抽水试验，抽水井稳定流量为60m3/h，有四个观测孔，其观测资料如表4—2所示，试用配线法求含水层参数。
表4—2
解：为了全面综合利用试验资料，按s-t/r2配线法求参数，首先根据表4—2资料计算与s对应的t/r2值。依据这些数据在透明双对数纸上绘制s-t/r2实际资料曲线；将此曲线重叠在W（u）-1/u标准曲线上，在保持对应坐标轴彼此平行的条件下，使实际资料曲线与标准曲线尽量拟合（图4—5）。拟合之后，任选一匹配点A，取坐标值：
W（u）=1， ，s=0.54， 0.0025，代入（4—11）式、（4—10）式进行计算：
地下水动力学（第二版）
地下水动力学（第二版）
例题4—2：根据例题4—1中第15号观测孔观测资料，利用降深－时间配线法求参数。
解：首先根据实测的不同时间的降深值，绘制s-t曲线；然后将它与W（u）-1/u标准曲线拟合，方法同前（图4—6）。取匹配点A的坐标值：
W（u）=1， ，s=0.58m，t=85min
代入有关公式计算：
地下水动力学（第二版）
图4—6 降深－时间配线法
2.Jacob直线图解法
当u≤0.01时，可利用Jacob公式（4—13）计算参数。首先把它改写成下列形式：
地下水动力学（第二版）
上式表明，s与 呈线性关系，斜率为 。利用斜率可求出导水系数T（图4—7）：
地下水动力学（第二版）
式中，i为直线的斜率，此直线在零降深线上的截距为 。把它代入（4—13）有：
地下水动力学（第二版）
因此，
地下水动力学（第二版）
于是得：
地下水动力学（第二版）
以上是利用综合资料（多孔长时间观测资料）求参数，称为 直线图解法。同理，由（4—13）式还可看出，s-lgt和s-lgr均呈线性关系。直线的斜率分别为 和 。因此，如果只有一个观测孔，可利用s-lgt直线的斜率求导水系数T，利用该直线在零降深线上截距t0值，求贮水系数μ*。
如果有三个以上观测孔资料，可利用s-lgr直线的值求μ*。
这种方法的优点是，既可以避免配线法的随意性，又能充分利用抽水后期的所有资料。但是，必须满足u≤0.01或放宽精度要求u≤0.05，即只有在r较小，而t值较大的情况下才能使用；否则，抽水时间短，直线斜率小，截距值小，所得的T值偏大，而μ*值偏小。
例4—3：根据例4—1资料，利用s-1gt/r2直线图解法计算参数。
解：（1）根据上述资料，绘制s-lgt/r2曲线（图4—7）；
（2）将 曲线的直线部分延长，在零降深线上的截距为（t/r2）0=0.00092;
（3）求直线斜率i。最好取和一个周期相对应的降深△s，这就是斜率i。由此得i＝△s=1.36;
地下水动力学（第二版）
（4）代入有关公式进行计算：
地下水动力学（第二版）
3.水位恢复试验
如不考虑水头惯性滞后动态，水井以流量Q持续抽水tp时间后停抽恢复水位，那么在时刻（t＞tp）的剩余降深s′（原始水位与停抽后某时刻水位之差），可理解为流量Q继续抽水一直延续到t时刻的降深和从停抽时刻起以流量Q注水t—tp时间的水位抬升的叠加。两者均可用Theis公式计算。故有：
地下水动力学（第二版）
式中，t′＝t—tp。当 时，（4—23）式可简化为：
地下水动力学（第二版）
式（4—24）表明，s′与 呈线性关系， ，为直线斜率。利用水位恢复资料绘出 曲线，求得其直线段斜率i，由此可以计算参数T：
地下水动力学（第二版）
如已知停抽时刻的水位降深sp，则停抽后任一时刻的水位上升值s*可写成：
地下水动力学（第二版）
或
地下水动力学（第二版）
式（4—25）表明，s*与 呈线性关系，斜率为 。如根据水位恢复试验资料绘出 曲线，求出其直线段斜率，也可计算T值。
又根据 ，将求出的 代入，可得：
地下水动力学（第二版）
利用式（4—26）可求出导压系数a和贮水系数μ*。
承压含水层中单井定流量抽水的数学模型是在下列假设条件下建立的：
（1）含水层均质各向同性，等厚，侧向无限延伸，产状水平；
（2）抽水前天然状态下水力坡度为零；
（3）完整井定流量抽水，井径无限小；
（4）含水层中水流服从Darcy定律；
（5）水头下降引起的地下水从贮存量中的释放是瞬时完成的。
在上述假设条件下，抽水后将形成以井轴为对称轴的下降漏斗，将坐标原点放在含水层底板抽水井的井轴处，井轴为Z轴，如图4—1所示。此时，单井定流量的承压完整井流，可归纳为如下的数学模型：
地下水动力学（第二版）
式中，s=H0-H。下边我们来研究如何求降深函数s（r，t）。为此，利用Hankel变换，将方程式（4—1）两端同乘以rJ0（βr），并在0—∞区间内对r积分。
图4—1 承压水完整井流
设导压系数 ，则有：
地下水动力学（第二版）
方程式右端
地下水动力学（第二版）
方程式左端，利用分部积分，同时注意到边界条件式（4—3）与式（4—4），有：
地下水动力学（第二版）
按Bessel函数的性质，有：
地下水动力学（第二版）
因此，有：
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上述定解问题，经过Hankel变换，消去了变量r，转变为常微分方程的初值问题，即：
地下水动力学（第二版）
其解为：
地下水动力学（第二版）
再通过Hankel逆变换由－s求s，即：
地下水动力学（第二版）
先计算方括号内的积分，为此设：
地下水动力学（第二版）
将（4—6）式对r求导数，有：
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根据（4—6）式，有：
地下水动力学（第二版）
两边积分得：
地下水动力学（第二版）
令C1=lnC，则有：
地下水动力学（第二版）
故：
地下水动力学（第二版）
利用r=0时的F（r）值，由（4—6）可以确定C值：
地下水动力学（第二版）
但由（4—7）式，有：
地下水动力学（第二版）
把上式代入（4—5）式，有：
地下水动力学（第二版）
为计算方便，对（4—8）式进行变量代换，令：
地下水动力学（第二版）
同时更换积分上下限，当τ＝0时， ；当r=t时，y＝∞
于是，
地下水动力学（第二版）
其中，
地下水动力学（第二版）
在地下水动力学中，采用井函数W（u）代替（4—9）式中的指数积分式：
地下水动力学（第二版）
则（4—9）式可改写成：
地下水动力学（第二版）
式中，s为抽水影响范围内，任一点任一时刻的水位降深；Q为抽水井的流量；T为导水系数；t为自抽水开始到计算时刻的时间；r为计算点到抽水井的距离；μ*为含水层的贮水系数。
（4—9）式为无补给的承压水完整井定流量非稳定流计算公式，也就是著名的Theis公式。为了计算方便，通常将W（u）展开成级数形式：
地下水动力学（第二版）
并制成数值表（表4—1），只要求出u值，从表4—1中就可查出相应的W（u）值；反之亦然。
表4—1 W（u）数值表（据Wenzel，1942）
推导Theis公式的假设条件是：
1）流动符合达西定律，并且是二维承压的；
2）含水层均质、各向同性、水平、等厚，在平面上无限延伸；
3）含水层的顶、底板为隔水层；
4）水头下降时，水从孔隙介质中瞬时释出，贮水系数为常数；
5）初始水头面水平；
6）抽水井为承压完整井，抽水流量保持不变。
在这些假设条件的基础上，可以建立以下数学模型：
含水层参数识别方法
这个数学模型的解析解是
含水层参数识别方法
含水层参数识别方法
含水层参数识别方法
式中s为降深；Q为井的不变抽水量；T为导水系数；W（u）为井函数。
式（2-21）即Theis公式，其中包含导水系数T、贮水系数S和抽水量Q，当它们的数值给定时，渗流场中任何一点任何时刻的降深s（r，t）均可由公式（2-21）算出。
Theis公式的重要用途之一就是根据定流量抽水试验资料反求含水层的水文地质参数。这些参数包括导水系数T和贮水系数S，常用的求参方法是配线法和直线法。有关这类求参方法的详细说明和计算实例可参阅薛禹群［5］，陈崇希［44］，孙讷正［3］，Lohman［42］和Walton［45］等人的著作。
除了用直线法和配线法求解含水层参数外，我们还可以用最优化方法或遗传算法等来计算含水层水文地质参数。为此我们将泰斯模型转化为以下极小化问题：
含水层参数识别方法
式中E为目标函数；T为含水层导水系数；S为贮水系数；［Ta，Tb］为T的取值区间；[Sa，Sb]为 S 的取值区间；为某时空点的地下水降深观测值；（T，S）为某时空点的地下水降深计算值，可用 Theis公式（2-21）计算。
对于具有简单边界条件的情况，可先用映射原理去掉含水层边界，再利用叠加理论计算出降深。例如对于矩形含水层，从理论上讲，除了利用 1.1 节的公式去计算降深（T，S）外，还可以将抽水井对边界作无穷次映射，把矩形含水层转化为无限含水层，然后将所有的虚、实井在 P（x，y）点所产生的降深叠加。
含水层参数识别方法
在实际计算中，当然不可能作无穷次映射，映射次数总是有限的。必须指出，在过去的某些计算中，由于映射次数不够，造成计算结果误差很大，甚至结果完全不能使用。尤其是在研究大流量、大降深的矿井疏干问题时，更要慎重处理。
我们建议采用试算法来确定映射次数。设第n次映射叠加的降深为sn，第n+1次映射时的叠加降深为sn+1，要求满足
含水层参数识别方法
式中ε为一事先给定的足够小的正数。
一般说来，满足上述准则（2-26）要求的映射井的个数相当多，使计算工作量很大，不可能用手算完成，但可用计算机处理。矩形含水层中非稳定流动的计算机程序较简单，其中主要是编写井函数的过程，例如可以在程序中直接利用泰斯井函数的过程。
用Theis公式识别含水层参数
含水层参数识别方法 含水层参数识别方法 式中s为降深；Q为井的不变抽水量；T为导水系数；W（u）为井函数。式（2-21）即Theis公式，其中包含导水系数T、贮水系数S和抽水量Q，当它们的数值给定时，渗流场中任何一点任何时刻的降深s（r，t）均可由公式（2-21）算出。Theis公式的重要用途之一就...
利用Theis公式确定水文地质参数
Theis公式既可以用于水位预测，也可以用于求参数。当含水层水文地质参数已知时，可进行水位预测，也可预测在允许降深条件下井的涌水量。反之，可根据抽水试验资料来确定含水层的参数。这里着重介绍下列几种求参数的方法：1.配线法 （1）原理 对（4—11）和（4—10）式两端取对数：地下水动力学（第二...
降水漏斗的变化规律
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基本方程———Theis公式
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利用抽水试验资料确定水文地质参数
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对Theis公式和与之有关的几个问题的讨论
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边界附近定流量井流试验数据分析
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井流计算
这样就引出包含影响半径（图4-8）的蒂姆公式（表达形式与裘布依公式一样，其中的“R”改换为蒂姆提出的影响半径即可）。图4-8 无限含水层中的无压井流 达西公式不仅适用于地下水的稳定层流运动，也适用于非稳定层流运动。1935年，美国学者泰斯（C.V.Theis）以达西定律为基础，利用热传导理论提出了...
抽水试验与涌水量评估
淮河流域（河南巩义）严重缺水地区地下水勘查 因此，通过该公式计算可得各单井在10年内一定降深条件下的单井涌水量（表5-7）：表5-7 水井定流量抽水水量预测表 由于野外实际的水文地质条件相比与Theis和Neuman公式所要求的条件复杂得多，因此所预测的水量会存在一定偏差。同时，对于非承压含水层，由于...