已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称求f(0)的值 证明f(x)是周期函数

对于定义域为R的奇函数，恒有f(0)=0

因为f(x)关于直线x=1对称

所以f(1+x)=f(1-x)
又f(x)是奇函数
所以f(1-x)=-f(-(1-x))=-f(x-1)

所以f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1)
即f(x+1)=-f(x-1)
f(x+2)=-f(x)

所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)

所以f(x)是周期函数

f(x)关于直线x=a与x=b（b>a）都对称
则有
f(a+x)=f(a-x)
f(x)=f[a+(x-a)]=f[a-(x-a)]=f(2a-x)
同理，根据f(b+x)=f(b-x)可得f(x)=f(2b-x)
即有
f(2a-x)=f(2b-x)
f(x+2a)=f(x+2b)
f(x)=f[(x-2a)+2a]=f[(x-2a)+2b]=f[x+2(b-a)]
可见周期T=2(b-a)

因为x=b是对称轴
所以f(x)=f(2b-x)
又因为(a,y0)是对称中心，所以f(2a-x)+f(x)=2y0
联立可得：f(2b-x)+f(2a-x)=2y0，
用x来替换原式中的（2a-x），就会得到f[2(a-b)+x]+f(x)=2y0， 注意这一步很抽象
再用2(a-b)+x来替换上一步的x ，就会得到f[4(a-b)+x]+f[2(a-b)+x])=2y0, 这一步也很抽象
∴f[4(a-b)+x]=f(x)
因此周期T=4|a-b|

鉴定完毕。

申明一下that这种NB碉堡奇葩生猛的命题证明已经达到上乘之境，一般情况下记住结论就行了，毕竟这种东西很多数学老湿都很难讲清楚的

若y=f(x)是定义在R上周期为2的周期函数,且f(x)是偶函数,当x∈[0,1...
解：当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，函数y=f（x）的周期为2，x∈[-1，0]时，f（x）=2-x-1，可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|．函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x＞5时，y=log5|x|＞1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在x＞0上有4个...

函数y=f(x)是定义在R上的奇函数 则f(x)=0 , 为什么?
题目包括两层含义：1、函数y=f(x)定义域为R，说明函数在X=0处有意义；2、函数y=f(x)为奇函数，说明函数在其定义域上关于原点对称；综上，f(x)=0。题外话：若函数f(x)为偶函数的话，f(x)=f(-x)；若为奇函数，有f(-x)=-f(x)。题目考查的是函数的奇偶性质。

对于定义在R上的函数f(x),有下述四个命题:①若f(x)是奇函数,则f(x-1...
不相等，则②错误；③中，将函数f(x-1)的图像向左平移一个单位得函数f(x)的图像，又函数f(x-1)的图像关于直线x=1对称，则函数f(x)的图像关于y轴对称，则有函数f(x)为偶函数，则③正确；④可以证明函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图像关于直线x=1对称，则④正确.答案：①③④ ...

证明:若{fn(x)}是定义在r上的一列函数,令e={x:limfn(x)=+无穷},则e=
设{fn(x)}是可测集E上非负可测函数列，若 （1）fn(x)<=f(n+1)(x)，n=1,2,...（2）在E上几乎处处有lim(n->∞)fn(x)=f(x)则∫(E)f(x)dx=lim(n->∞)∫(E)fn(x)dx 证明Lebesgue基本定理：令fn(x)=∑(m=1->n)fm(x)因为{fm(x)}是可测集E上非负可测函数列 所...

函数y=f(x)是定义在R上的奇函数 则f(x)=0 , 为什么?
奇函数嘛，为了保证图像与原点中心对称，所以如果在原点处有定义，则f(x)必然为零

定义在R上的函数f(x)满足:对任意的实数m,n,总有f(m+n)=f(m)×f(n...
过程如图 如果你认可我的回答，请点击“采纳答案”，祝学习进步！手机提问的朋友在客户端右上角评价点【评价】，然后就可以选择【满意，问题已经完美解决】了

定义在r上的函数fx的图像关于点A (a,b)B (c,b)都对称 求该函数的...
∵函数y = f (x)图像关于点A (a ,b) 成中心对称,∴f (x) + f (2a－x) =2b,………（1）又∵函数y = f (x)图像B (c,b)对称,∴f (x) + f (2c－x) =2b,用2a－x代x得：f (2a－x) + f [2c－(2a－x) ] =2b………（2）比较（1）（2）两式可知：f [2c－(...

...任意X属于R都有f(x+2)=f(2-x)+4f(2),若函数y=f(x
函数y=f(x)的图像关于点(-1，0)对称， =》f(-1+x)+f(-1-x)=0,=>f((x-1))=-f(-2-(x-1))=> f(x)= -f(-2-x)f(x+2)=f(2-x)+4f(2), x=0代入，=> f(2)=f(2)+4f(2) => f(2)=0 由f(2)=0,得 f(x+2)=f(2-x), f(x+2)=f(4-(x+2))=>f...

f(x)是定义在R上的奇函数,且图像关于直线x=1对称,已知x于[0,1]时...
f（x）是定义在R上的奇函数，且图像关于直线x=1对称，已知x于［0,1］时，函数f（x）=x^3。①证明f（x）为周期函数。②当x属于［5,7］时，求f（x）的解析式 (1)证明：因为，f（x）是定义在R上的奇函数，所以，其图像关于原点中心对称 又其图像关于直线x=1对称 因为，若函数y=f(x)...

怎么证f(x)在R上处处可导?
证明过程如下：x0∈R lim(△x→0+)[f(x0+△x)-f(x0)]\/△x =lim(△x→0-)[f(x0+△x)-f(x0)]\/△x 对任意的x∈R，有该点的左导数=该点的右导数成立。反证法假设在R上存在一点x0，使得函数f(x)在该点不可导。然后推论出一个与已知条件相矛盾的结论即可。