幂级数求和函数 求解答!!!

供稿:hz-xin.com     日期:2025-01-15
高等数学 所给的幂级数 求和函数!!

  幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。求解幂级数的和函数时,常通过幂级数的有关运算(恒等变形或分析运算)把待求级数化为易求和的级数(即常用级数,特别是几何级数),求出转化后的幂级数和函数后,再利用上述运算的逆运算,求出待求幂级数的和函数。
  以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型:
一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x)
  计算幂级数的和函数,首先要记牢常用级数的和函数,再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。

二、求通项为P(n)x^n的和函数,其中P(n)为n的多项式
  解法1、用先逐项积分,再逐项求导的方法求其和函数。积分总是从收敛中心到x积分。
  解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之,这是不必再积分。

三、求通项为x^n/P(n)的和函数,其中P(n)为n的多项式
  解法1、对级数先逐项求导,再逐项积分求其和函数,积分时不要漏掉S(0)的值。
  解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。

四、含阶乘因子的幂级数
  (1)分解法:将幂级数一般项进行分解等恒等变形,利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数,分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数
  (2)逐项求导、逐项积分法
  (3)微分方程发:含阶乘因子的幂级数的和函数常用解S(x)满足的微分方程的处之问题而求之。因此先求收敛域,求出和函数的各阶导数以及在点0处的值,建立S(x)的长微分方程的初值问题,求解即得所求和函数

题中的类型为第二种类型


x∈(-1,1)

设F(x)=∑<n=1,∞>x^n/[n(n+1)],
则[xF(x)]''=∑<n=1,∞>x^(n-1)=1/(1-x),
所以[xF(x)]'=-ln|1-x|+c1,
xF(x)=-|x-1|ln|x-1|+(x-1)+c1x+c2,
由F(0)=0得c2=1,
由F(1+)=1得c1=0,
所以xF(x)=-|x-1|ln|x-1|+(x-1)+1,
所以F(x)=(x-|x-1|ln|x-1|)/x.

级数求和函数,求解答
两边同除 x, 1 + x\/2 + x^2\/3 + ... + x^n\/(n+1) = - (1\/x) ln(1-x)原级数的和 = x\/2 + x^2\/3 + ... + x^n\/(n+1) = - (1\/x) ln(1-x) - 1 因为边界点 x = 1处发散,x = -1处条件收敛,其收敛域:[-1, 1).

求幂级数(如下图)的和函数。(解答过程)
解:令上述幂级数的和函数等于E E=1+(2^2)x+(3^2)x^2+(4^2)x^3+………+[(n+1)^2]x^n xE=x+(2^2)x^2+(3^2)x^3+(4^2)x^4+………+[(n+1)^2]x^(n+1)两式相减得:(1-x)E=1-[(n+1)^2]x^(n+1)+(2^2-1)x+(3^2-2^2)x^2+(4^2-3^2)x^3...

求级数的和函数
x∈[0,2-根号2]由是偶函数可知:x∈[根号2-2,2-根号2]

级数x(1-x)∧n和函数
1、本题求级数的和函数,由于每项都含有一个因子x,所以计算和函数的过程,就是把x提取到求和符号 ∑外,然后求和;2、求和的方法,就是反向运用等比小于1的无穷等比 数列的求和公式。具体解答如下,若看不清楚,请点击放大:

求幂级数的和函数问题!急求解答!
∫(0,x) f(t)\/t dt =∫(0,x) ∑ (-1)^(n+1)n^2t^(n-1) dt =∑ n*(-1)^(n+1) * ∫(0,x) n*t^(n-1) dt =∑ n*(-1)^(n+1) * x^n 再令g=∑ n*(-1)^(n+1) * x^n 那么有,g\/x=∑ n*(-1)^(n+1) * x^(n-1)同积分 ∫(0,x) g(t)\/...

幂级数求和函数 求解答!!!
∞>x^n\/[n(n+1)],则[xF(x)]''=∑<n=1,∞>x^(n-1)=1\/(1-x),所以[xF(x)]'=-ln|1-x|+c1,xF(x)=-|x-1|ln|x-1|+(x-1)+c1x+c2,由F(0)=0得c2=1,由F(1+)=1得c1=0,所以xF(x)=-|x-1|ln|x-1|+(x-1)+1,所以F(x)=(x-|x-1|ln|x-1|)\/x.

级数求和
把x=-x带入上式就是要求的关键级数了,带入后,两边同时除以(1-x)得:S(x)=1\/(1-x)+ 1\/x*ln(1-x) |x|<1 (2)∑(n=1→无穷)(-1)^n*n\/((n+1)*2^(n+1 =2S(-1\/2)=4\/3—2ln3\/2 ≈0.5224 解答这类题的关键是化陌生级数为熟悉的泰勒级数或者格林级数来解决 ...

求解幂级数的和函数?详解,感谢
简单计算一下即可,答案如图所示

求3,4幂级数的和函数
1、第三题拆成三个级数;A、第一个级数用无穷等比级数求和公式立刻能写出;B、第二个级数、第三个级数,都是先求导,然后运用等比求和,再积分。2、第四题拆成两个级数;这两个级数也都是先求导,然后运用等比求和,再积分。具体解答如下:

求幂级数的和函数 求大神给出这两道题的详细解答过程 谢谢
解:【用“[.]'”表示对x求导”】(1)题,设S(x)=∑(n+1)x^n。∴S(x)=∑(n+1)x^n=[∑x^(n+1)]',当丨x丨<1时,∑x^(n+1)=(x^2)\/(1-x),∴S(x)=∑(n+1)x^n=[(x^2)\/(1-x)]'=(2x-x^2)\/(1-x)^2,其中,丨x丨<1。(2)题,设S(x)=∑[1\/(2n+...