已知3tf''(t)+f'(t)=0,f(0)=0,f'(1)=1,求f(t)
由 f(t+s)=(f(t)+f(s))/(1-f(t)f(s))，令s=t=0得：
f(0) = 2f(0)/(1-f(0)²)，即 -f(0)(f(0)²+1)/(1-f(0)²) = 0
∴ f(0) = 0
再由f(t+s)=(f(t)+f(s))/(1-f(t)f(s))得：
f(t+s) - f(t+s)f(t)f(s) = f(t)+f(s)
(f(t+s) - f(t)) / s = (f(t+s)f(t)f(s) + f(s)) / s
= (f(t+s)f(t)+1) * f(s)/s
由已知，y=f(x)在t=0处可导，设 f'(0) = k，(k∈R)
则 s->0时，lim (f(s)/s) = f'(0) = k
因此 s->0时，lim((f(t+s) - f(t)) / s) = lim ((f(t+s)f(t)+1) * f(s)/s) = (f(t)²+1)*k
即对于定义域内任意值t，有f(x)在x=t处可导，且 f'(t) = k*(1+f(t)²)
分离变量得：d(f(t))/(1+f(t)²) = k*dt
两边积分得：arctan(f(t)) = k*t + C
以t=0代入上式，利用f(0)=0 得：C = arctan(f(0)) = 0
因此 arctan(f(t)) = k*t
即 f(t) = tan(k*t)，(k∈R)
解：令p=t=0，易得f(0)=2f(0)+0，解得f(0)=0
因f为可导函数，故f'(x)=lim [f(x+△x)-f(x)]/△x=lim [f(x)+f(△x)+2x△x-f(x)]/△x
△x->0 △x->0
=2x+lim f(△x)/△x=2x+lim [f(△x)-f(0)]/△x=2x+f'(0)=2x+1
△x->0 △x->0
故f(x)=x^2+x+C。考虑到f(0)=0，则有C=0，于是f(x)=x^2+x
原方程转化为
3tp'+p=0
即dp/p=-dt/3t
两边积分,ln|p|=-1/3*ln|t|+C1,或p=C1t^(1/3)
∴df(t)=C1t^(1/3)dt
积分,得f(t)=C1t^(4/3)+C2
f(0)=0,得C2=0.f'(1)=1,得C1=3/4
∴f(t)=3/4*t^(4/3)
已知3tf''(t)+f'(t)=0,f(0)=0,f'(1)=1,求f(t)
原方程转化为 3tp'+p=0 即dp\/p=-dt\/3t 两边积分,ln|p|=-1\/3*ln|t|+C1,或p=C1t^(1\/3)∴df(t)=C1t^(1\/3)dt 积分,得f(t)=C1t^(4\/3)+C2 f(0)=0,得C2=0.f'(1)=1,得C1=3\/4 ∴f(t)=3\/4*t^(4\/3)
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