设fx是定义在(-1,1)上的连续正值函数，且f（0=1，f'（0）=2.求limx→0（f（x））^(1/x)
设 g(x)=f(x)*x^3
则有：g'(x)=f(x)*3*x^2+f'(x)*x^3
因为：g(0)=g(a)=0
根据中值定理，在(0,a)中存在ξ使得g'(ξ)=0
即：f(ξ)*3*ξ^2+f'(ξ)*ξ^3=0
所以：f(ξ)*3+f'(ξ)*ξ=0
扩展资料：函数与其导数是两个不同的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。
微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。
以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；
中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。
中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。
从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。
参考资料：百度百科-中值定理
limx->0f(x)/(1-cosx)=2。
∵x->0分母1-cosx→0。
极限=2，f(0)→0。
洛必达法则：
lim(x->0)f(x)/(1-cosx)=lim(x->0)f'(0)/sin0，分母依旧为0，极限存在，f'(0)=0。
继续求导：=lim(x->0)f''(0)/cos0=2。
∴f''(0)=2>0。
∴f(0)=0为极小值。
扩展资料：
在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。
如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
极限的求法有很多种：
1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。
3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。
4、利用无穷小的性质求极限。
5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。
6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。
极限符号不好打，答案是e^2，过程请看下图：
扩展资料：
闭区间上的连续函数具有一些重要的性质，是数学分析的基础，也是实数理论在函数中的直接体现。下面的性质都基于f(x)是[a,b]上的连续函数得出的结论。
1、有界性
闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。
2、最值性
闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。
所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。
3、介值性
若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。则对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c)=C。
这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：
a、零点定理。
也就是当f(x)在两端点处的函数值A、B异号时（此时有0在A和B之间），在开区间(a,b)上必存在至少一点ξ，使f(ξ)=0。
b、闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。
也就是设f(x)在[a,b]上的最大值、最小值分别为M、m（M≠m），并且f(x1)=M，f(x2)=m，x1、x2∈[a,b]。在闭区间[x1,x2]或[x2,x1]上使用介值定理即可。
4、一致连续性
闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。
所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。
参考资料来源：百度百科-求导
如图：
设fx是定义在(-1,1)上的连续正值函数,且f(0=1,f'(0)=2.求limx→0(f...
极限符号不好打，答案是e^2，过程请看下图：
设函数f(x)在区间[-1,1]上连续,则x=0是函数g(x)=∫f(t)dt\/x (上限x...
g(x)在x = 0处没有定义，所以无论如何x = 0也不可能是它的连续点。只需要判断究竟是哪种连续点。由于f的连续性，g(x)的分子（变上限积分）在[-1,1]可导，导数就是f(x)。所以，应用罗比达法则求g(x)在x = 0处的极限可得到 lim g(x) = lim ∫f(t)dt\/x = lim f(x) \/ 1 =...
fx在闭区间上连续, 则在开区间(a,b)上fx必有什么?极值,导函数,原...
连续函数f(x)=x x∈(-1,1) f(x)无极值、最值；连续函数f(x)=|x| x=0处不可导。连续一定可积，闭区间上连续的函数一定有界。
设fx在区间[a,b]上连续,则函数fx=∫(a,x)ftdt,在区间[a,b]上一定_百 ...
很明显，f（x）在区间[-1，,1]内只有1个跳跃间断点x=0，所以根据定积分的性质，f（x）在[-1，1]连续且可积。而也很容易就能算出来∫-1→xf(t)dt=|x|-1 而|x|-1在x=0点是不可导的，虽然|x|-1在x=0点是连续的。所以如果f（x）在［a,b］有跳跃间断点，那么∫a→xf(t)dt在...
如果正项级数an收敛证明fx=anx∧n在-1,1连续
如果正项级数an收敛证明fx=anx∧n在-1,1连续 直接代入方程 r(x~2+-2+22)ds = T4 ds =16 或将方程参数化然后计算 z2+32+A2=4 x+3+2=0 将＝-x-3代入＾2+y～2+2＝4中 ==>x2+y~2+xy=2 (x+y\/2)2+(V3y\/2)~2=2 fa: y\/2 v2c0st f v3y\/2 28int ニ2 (a =v2...
fx在-1到无穷上连续,且fx-1\/x+1
由拉格朗日中值定理 [f(x)-f(1)]\/(x-1)=f'(a) 其中10 因为F(x)=[f(x)-f(1)]\/(x-1)所以 F'(x)=【f'(x)*(x-1)-[f(x)-f(1)]】\/(x-1)^2 >0 所以 F(x)在1到正无穷上单增
定义在(-1,1)上函数fx+fy=f(x+y\/1+xy)且x属(-1,0)有fx大于0求f(1\/11...
)，把f(1\/(n²+5n+5))化为两个连续数列项之差，即f(1\/(n²+5n+5))=f(1\/(n+2))-f(1\/(n+3))。求和得原式=f(1\/3)-f[1\/(n+3)].又x∈(0,1)，f(x)<0，所以-f[1\/(n+3)]>0.则得原式<f(1\/3).注：本题为某年高中数学竞赛的试题，具有挑战性。
fx在区间上有定义是连续的意思吗
连续必须满足的条件：1.函数在该点上有定义，也就是取得到这一点所对应的自变量的值；2.该点处存在极限；3.该点处的函数值等于极限值。所以说只说fx在区间上有定义不能单纯的判断是否连续。在某闭区间有定义表示在该闭区间内任意一点都有定义。有定义无法推出连续。如著名的狄利克雷函数，自变量为...
fx为连续函数怎么设置
连续函数在定义域内无间断，意味着它在任何点处的极限等于该点的函数值。对于f(x)的值域设置在0到1之间，可以采用多种策略。一种方法是利用线性变换。设f(x)的原值域为[a, b]，则通过线性变换将其映射到[0, 1]之间。变换公式为：g(x) = (x - a) \/ (b - a)，其中g(x)的值域满足0...
在区间[-1,1]上满足罗尔定理的条件的函数是 A、f(x)=1\/x^2 B、f(x...
选d，罗尔定理 要求函数在区间上是连续的，A，B在0处都不连续 c不存在当x不等时，fx相等的x