如何在数学教学中培养学生的独立思考能力

一、问题的提出
我国古代的教育家历来强调学习者必须注意学与思的统一。如孔子认为“学而不思则罔,思而不学则殆”；宋代教育家程颐认为“为学之道，必本与思，思则得之，不思则不得也”，“不深思而得者，其得易失”，则更加突出了思考在学习中至高无上的地位。这些至理名言至今对后人的学习产生重要的影响。综观世界各国教学大纲也无不把培养学生独立思考的能力放在较为突出的位置。我国《中学数学教学大纲》中，除了对基本知识、技能、思想方法及四大能力提出具体要求外，明确提出“要重视培育学生独立思考和自学能力”。因此，培养学生独立思考能力，是中学数学教育的目标之一。从更为广泛的意义上说，“学校的目标应是培养独立思考和独立工作的人”（爱因斯坦语）。独立思考是有所发现，有所突破，有所创新的前提。
2、对独立思考能力的认识
独立思考的能力是一种综合能力，它表明个体能面对不同的情景、运用不同的思维方式、方法和技巧解决所面临的问题。要培养这种能力，首先必须让学生参与到具体的活动过程中去，并尽可能提高其参与度，其次是帮助学生逐渐掌握思维的方法和分析问题的方法，最后着眼于培养学生的思维品质，形成独立思考的习惯和能力。中学生的年龄特点及认知水平决定了其独立思考的程度具有相对性。一般地，随着年龄的增长，学生的认知水平和活动能力不断提高，其思考问题的独立性也就不断增强。也就是说，学生的独立思考能力必须经历一个长期的过程，才能逐步培养、构建并发展起来。独立思考并不排斥同学之间的合作互助，但合作学习必须建立在个体独立思考的基础上进行。对于一个具体的问题，倘若没有形成自己独到的见解，就急于与人合作和会话，必定会影响思维的主动性，从而影响思维能力的提高。可以这么说：没有独立思考，也就没有合作学习的本质内容，合作讨论就成了无源之水、无本之木，因而合作也就只能流于形式。
3、培养学生独立思考能力的教学途径
3.1 分类指导，提出独立思考的要求；教育学生，强化独立思考的意识。
通过问卷调查、学生座谈以及统计、分析和判断，我们发现，独立思考与学习效果具有正相关关系。一般地，越是优秀的学生，独立思考的习惯就越好，而良好的学习习惯逐渐又转化为一种能力，从而为独立思考活动提供支撑和保证。为了形成这种良性循环，教学中对各类学生只有采用不同的教学策略，才能逐步提高学生独立思考的能力。我们采用的方针是：对于水平较高的学生应采用“放”的方式，为他们提供更为广阔的独立思考的时间和空间；对于中等生应采用“激”的方式，为他们提供要求适中的问题，逐步养成独立思考的习惯；对于中差生应采用“诱”的方式，多给一些鼓励和启发，形成独立思考的自我意识。教学中结合教材适时地向学生介绍一些古今中外著名专家、学者独立思考，刻苦钻研，学有成就的事例，从历史的角度说明“独立思考”的重要性。如在“数列与极限”一章的教学中，穿插了“高斯的求和方法”、“芝诺的悖论及其破译”等小故事，让学生在趣味情境中懂得独立思考的科学价值；在“复数”一章的教学中，结合数学的发展史，如无理数被发现的坎坷历程，让学生感悟独立思考的人格魅力。班会课上，让不断取得进步及获得优异成绩的学生、校友，介绍自己学好数学的经验，并把独立思考、勇于探索的具体做法作详细讲解。从学习的角度说明独立思考的必要性和可行性。
3.2 引导学生,培养独立思考的习惯；创设情境，教会学生独立思考。
从学生学习的五个环节（预习、听课、复习、作业、反馈）抓起，把独立思考放在较为突出的位置。以预习为例要求学生改浏览型为思考型，使预习成为有意义学习。我们的做法是通过问题串的形式，诱发学生独立思考，再在课上作相互交流和提炼总结。独立思考不是异想天开地胡思乱想，必须遵循正确的规律与方法。科学的思维方法，不是游离于获得和运用知识这个过程之外，而是贯穿、渗透在这个过程之中。在这个过程中，教师不只告诉学生结论，而要让学生了解得出结论的过程和方法，知道知识的来龙去脉及相互联系。通过学习知识的过程，同时学会正确地思考，逐步构建起思想方法的体系，为真正意义上的独立思考作准备。以“复数有关概念”的教学过程为例，随着学生在课上的讨论不断深入，师生共同构建起复数概念的知识结构，并在此解决的过程中，提炼出一些思想方法。
3.3 留有余地，激发学生独立思考；推迟判断，鼓励学生独立思考。
教师讲解不宜过细，要给学生留有思考、探究和自我开拓的余地。否则，看似讲透，实则难以内化为学生的观点，学生的独立思考能力也无法形成。因此，教学过程中，对于最基本、最主干的东西要讲清，以利于知识迁移；而对于一些扩展性问题、简单的推导和论证、前后知识对比以及区别和联系，对知识和方法的归纳、总结等，可以给学生留出余地，激发学生自己去钻研思考。以“数学归纳法的应用举例”的教学为例，我们的侧重点放在了问题结论的探求上，而在此过程中，出现了有限与无限的矛盾，从而加强了学生对数学归纳法应用功能的理解。推迟判断是奥斯本智力激励法的一个原则，该原则的要点是限制在畅想和讨论问题阶段，不宜过早地作出判断和批评，要营造宽松的氛围，使讨论者在心理上具有安全感和自由感，不断诱发创造设想，最终使思维走向灵活、深刻和全面。
3.4 提倡开放式教学，提高独立思考的品位。
要学生独立思考，教学方式首先要提倡开放式，决不能“一言堂”，否则这种独立性很快会受到极大的限制。其次，努力培养学生善于独立地提出问题。因为能够独立地提出问题，不经过独立思考是做不到的；而问题提得好，又恰恰表明了思考的深度。例如，抛物线的焦点弦是解析几何的一个常见几何模型，我们要求学生提出一些问题，结果学生表现极为踊跃，整理后共提出二十多个具有思考价值的问题。此外，还要尽可能扩大学生的知识面，以开阔思路。如高一新教材中设置的阅读材料、实习作业、研究性学习等内容，实验班老师都认真指导、精心组织，并提出一些“开放式”的问题，让学生探索思考。
4、确立思考对象，提高独立思考的有效性
4.1 对知识形成的背景、过程及作用作思考。
以“函数周期性”的教学为例，我们列出了以下背景材料供学生思考：什么叫周而复始?地球自转的周期是多少？地球公转的周期是多少？物理中是怎样定义周期的？在此基础上，让学生回顾正弦函数图象的作法（单位圆等分后移动描点法），并通过多媒体演示，让学生思考图象出现不断反复的物理意义及数学表示，逐步抽象出函数周期性的定义。在此基础上，对定义中常数T及x的任意性作出提问思考：给定的常数T是一个什么样的常数？它具有唯一性吗？它一定具有最小正值吗？在f(x+T)=f(x)中，为什么x必须是定义域中的任意值？若a是非零常数，且对于任意x,分别满足(1) f(x+a) = f(x-a)，(2) f(x+a) =-f(x)，(3) f(a-x)=f(x)，问f(x)是否一定为周期函数？这些“问题串”，提高了学生对函数周期性概念进行独立思考的针对性和有效性。可引发学生独立思考的数学思想方法实在太多了。前面提供的几则教学案例，可见一斑。
4.2 对解题的策略作思考，对解题后的回顾作思考。
根据波利亚的“怎样解题表”，我们常向学生提出以下问题：
(1)本题的条件是什么？结论是什么？它们之间有什么联系？又有什么差异？
(2)你知道什么与本题有关的问题吗？如想出一个更特殊的问题？一个更一般的问题？一个类似的问题？
(3)能否找到一个解决计划并实施这一计划？
在教学中，我们用这些问题向学生发问，诱发学生独立思考，因而不少学生也逐步学会了如何寻求解题策略的方法。通过解题回顾，可以提高学生的元认知能力，解题完毕后向学生发问：
(1)能检验你的结果吗？能说出你解题过程中走过的弯路吗？
(2)能否用其它的方法得出结果？
(3)能否用这一结果或方法迁移到别的问题上去？
(4)能否把结果或方法加以推广？
学生一旦养成这种自问自答的习惯，对学生独立思考能力形成的促进作用无疑是很大的。
4.3 对学习中的错误作思考。
对错误的解法作思考，不仅仅是为了找到改正的依据，而且有着更深层的作用：
其一，它是正确思路得以产生的“母机”，错误根源的暴露往往伴随着正确认识的产生，导致正确思路的出现；
其二，对各种可能思路的研究充分暴露了学生的思维过程，在此过程中引导学生进行全方位、多角度思考，可使解题方法不断优化，在培养发散思维的同时，增强了思维的深刻性和批判性；
其三,在纠错的过程中，学生必须竭尽全力，寻找漏洞，构造反例，调整策略，即学生必须经历复杂的心理变化，才能达到纠错的目的，因而其过程本身是独立性很强的思考活动。
4.4 对数学思想方法作思考，对知识的纵横联系作思考。
例如，怎样分析、综合？如何化解归纳？怎样转化？如何分类？怎样讨论？如何代换？怎样类比？如何掌握数形结合？怎样构造数学模型？等等。平时教学总是以单个知识逐步进行的，因而学生也就以零星积累的方式接受和存贮知识，致使遗忘率高，阻碍了学生独立思考能力的发展。为此，在每一个单元结束后，我们要求学生自己列出复习提纲，并在教师的指导下，形成一个好的提纲，在此基础上，通过对系列问题的独立思考进行归纳和概括，提取共同的、本质的特征，用数学思想方法加以统摄，使学生从方法论的高度加以掌握，从而提高学生宏观上思考问题的能力。
在教学实践中，我们认识到独立思考层次的差异。如“出声想”只是吩知识复现性的思考，练习操作是技能、方法的思考，这两者都处于思考的较低层次水平，对解决问题策略的选择则需要从数学观念、思想、方法、知识不断检索，反复多次才能实现，因而需要一个过程，其思考形式往往是“无声”的，但思维活动及心理活动极为丰富和复杂，可谓此时无声胜有声，思考水平处于较高层次。反思性学习实际上是学生元认知能力的体现学生要从更宏观的角度加以独立思考，因而思考的时间更为持久，空间更为广阔，层次水平更高。教学中，让学生“出声想”、“做数学”是独立思考活动最基本的保证，但我们决不能仅停留在这些操作的层面上，而应腾出充足的时间，让学生对自己的实践活动，作进一步“反省抽象”，从而使他们的思维活动向更高境界迈进。其中，引导学生用数学思想方法对解决问题的策略作思考，并让学生对学习活动进行不断反思，是提高学生独立思考能力层次水平的有效途径。

独立思考是一种能力，是一种需要从小养成的习惯，培养学生的独立思考能力需要从小抓起，落实于具体的教学实践中。而传统教学中以教师为中心，以讲解为中心，并不能顺利达成教学目标。要实现这一教学目标就必须对数学教学进行全面改革，要想方法来诱发学生思考，引导学生思考，鼓励学生思考。这样才能让学生在获取更多的数学知识的同时养成独立思考的良好习惯。
一、激发兴趣，让学生乐于思考
思考是一个智力因素与非智力因素共同参与、互相作用的复杂过程，空有热情的思考是徒然，而没有热情的思考是沉闷而繁重的，都不利于学生独立思考能力的培养与习惯的养成。因此，要培养学生独立思考的能力，不仅要重视学生数学基础知识的夯实，还要重视学生对数学学科学习兴趣的激发与培养。只有激起学生对认知对象浓厚的兴趣，学生才能以思考为乐趣，以饱满的学习热情全身心地投入到学习中来，才能展开主动而快乐的思考。为此，在教学中，我们不能一板一眼、按部就班地来展开教学，而是要灵活运用教学手段，如引入生活的活水，运用现代信息技术、采用情景教学法等等，来为学生打造一个富有活力而开放的教学，让学生感受到教学的趣味所在。这样才能点燃学生内心求知的火焰，激起学生积极的学习情感，这样学生才能以学为乐，主动参与其中，展开快乐的思考。
二、精心提问，让学生主动思考
“学起于思，思源于疑。”疑问是打开创新之门的钥匙，可以激起学生独立的思考与积极的思维。传统教学中教师以讲解为中心，把每个知识点讲得非常详细透彻，可以说是一口一口地咀嚼后喂给学生，学生根本就没有思考的时间，久而久之会造成严重的依赖性，不知思考，不会思考。为此，在教学中，我们要善于运用提问艺术，以问题来激发学生的好奇心，激起学生心中的困惑，引导学生展开主动探究，在探究中展开主动而积极的思考。如，在学习“长方形、正方形的认识”时，如果直接告诉学生长方形与正方形的特征，就会让学生陷入被动而机械的接受之中，失去了思考的权利。为此我们可以精心设问，以问题来引导学生展开主动思考。1.数一数长方形与正方形有几条边、几个角？2.量一量长方形与正方形各条边的长度、各个角的度数。3.比一比长方形与正方形的每条边与每个角，发现了什么？一石激起千层浪，既能激起学生情感上的涟漪，又能激起学生强烈的探究动机，展开主动思考。各小组学生积极动手动脑、主动思考、认真记录，让学生自己去发现、去分析、去解决，进而得出结论。在这样的活动中，学生不再是被动参与、消极接受，而是要在积极的思考与思维中主动构建新知。
三、引导质疑，让学生学会思考
正所谓：“授之以鱼，不如授之以渔。”要培养学生的独立思考能力最为核心的环节就是要让学生学会思考。为此，在教学中，我们不仅要重视教师的提问，更为重要的是要为学生营造民主的教学氛围，鼓励学生勇于质疑，敢于提问，摆脱教材的束缚、思维的禁锢，为学生提供一个展现自我的舞台，这样才能让学生深入本质地展开思考，展开富有创造性的认知活动，让学生真正地学会思考。如，在学习“长方形、正方形的认识”时，教师提出了三个问题，学生通过用尺子测量长方形、正方形的每条边的长度，得出长方形对边相等、正方形四条边都相等的结论。我看到许多学生似乎有话说，此时我并没有无视学生异样的眼光，而是微笑着鼓励学生有什么不同看法表达出来，将教学的话语权交给学生，让学生自由发言。此时，就有学生提出不用尺子量同样可以知道长方形、正方形边的特点，如，图形对折或者直接对各边进行比较等等。在这样自由而愉悦的教学之中，学生并没有局限于教材，局限于所谓的标准答案，而是能够真正地体现在学习中的主体性与能动性，能够结合所学知识与生活经验从多个角度来展开思考，实现了对知识与经验的重新加工与整合。这样才能让学生真正地学会思考与思维，帮助学生养成良好的独立思考习惯。
四、及时鼓励，让学生爱上思考
一位著名的儿童教育学家曾经说过：孩子都有一个十分明显的心理特征，那就是喜欢被称赞、嘉许和鼓励，而禁止、惩罚、抑阻等却很容易让他们产生逆反心理。也就是说在学生的学习过程中我们要重视评价，要善于运用科学有效的正面肯定来增强学生学习的信心，让学生看到自己的成功与进步，这样才能激起学生更大的思考热情，让学生真正地爱上思考，享受到智力角逐的乐趣。因此，教师在对学生的学习进行评价时不能只是单纯地看重学生的学习结果，不能只是关注学生的书面成绩或者看学生对公式定理的熟记程度，而是要关注学生的学习过程，将学生的学习态度、思考方向等纳入评价机制，对学生的学习进行一个全面而客观的评价，这样才能让评价成为学生漫漫途中的加油站。
（一） 多做纵向比较
对于学生的评价，不要做单纯的横向比较，与某某学生相比较，而是要做纵向比较，要看比之前是否有进步，也就是说要为每个学生建立一个成长档案，将学生的具体情况记录在册。善于发现每个学生的进步，哪怕是极其微小的进步，也要给予学生必要的鼓励，使之成为增强学生信心的重要契机。
（二） 鼓励要真实而具体
鼓励并不是笼统的一句你真棒就可以的，而是真实而具体，富有感情，这样才能真正地发挥评价的激励效应，不仅能增强学生的信心，同时也可以让学生看到自己的进步与不足，帮助学生明确今后努力的方向，不断调整自己的学习目标。
总之，学生独立思考的能力并不是一朝一夕就可以培养来的，而是需要落实于每一节课中，这是一个长期的过程。我们要为每个学生提供更多自由选择与独立思考的空间，让学生在思考的过程中发现问题、分析问题与解决问题，这样才能让学生学会探究，学会思考，使学生成为新一代创新型人才。

就学习过程而言，独立思考是学好知识的前提，培养学生的能力，独立思考是一个核心。具备独立思考能力的人是个非常自信的人，是个有突破创新的人，是个能适应各方面飞速发展的社会人。培养独立思考的能力，学生自身的因素是关键，教师在课堂教学中如何培养学生的独立思考能力也至关重要。我认为教师在课堂教学中可以从以下几个方面培养学生独立思考的能力: 

一、创设情境，激发独立思考的兴趣 学习知识的过程同时也是学会正确地思考的过程。要培养学生独立思考的能力，就要求我们教师利用有限的课堂时间，去激发学生独立思考的兴趣，为他们创设一个良好的独立思考的环境。我们在上课的时候要根据学科特点，有针对性地创设情境。比如在学习等差数列前n项和的时候，我引用了著名数学家高斯小时候的一个故事，引导学生思考，使学生自己寻找求等差数列前n项和的一种思想。同时根据人体大脑的特点，人的感受由于受到刺激物的持续作用将会出现一种适应，一种方式讲到头会使学生的视听产生适应性。在教学中为防止这种消极的适应现象，教师往往要恰当地使用直观教具。这样做，将抽象的知识变为具体的实物，对于提高学生的观察、思考能力有很大的帮助。 

二、巧用“问答”引导学生独立思考 

1. 有针对性地提出问题，思维是从问题开始的。教师应根据教学需要从不同的角度、层次

和要求提出问题，引导学生思考，更好地理解学习内容。这样，就可以使学生在掌握知识的同时发展思维能力，提高思维的积极性、灵活性和创造性。例如在讲解同角三角函数的基本关系式的时候，老师可以先提出任意角三角函数值的定义，接着让学生分组讨论一下根据这四个三角函数值的定义能得出什么样的关系式。这样，学生的兴趣能较好地得到激发，并促使学生去认真地研究问题、得出结论。

2.提出问题后，应留足“空白”。 期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆课堂教学中，提问是一种很好的形式，它可以激发学生的兴趣，引导学生积极地思维。问题提出后，我们应该留出一段时间，为学生营造静思冥想的氛围，让学生周密考虑后回答，以达到交流思想、互相启迪、促进“集思”深化的目的。教师提出一个问题后要留给学生一定的思考时间，使他们都沉浸在独立思考的情境中，经过独立思考体验之后进行讨论。因为他们都有自己的见解，可能会产生认识上的冲突，又会激起他们的“反思”，最后把认识统一到真理上来，所以说“集思”是“智慧的摇篮”。

 3.让每个学生都有“再答”的机会，修正思考错误。杜威说过:“真正思考的人，从自己的错误中吸取知识比从自己成就中吸取知识更多。”学生在认识过程中的错误是对他本身有好处的。提问中，对学生答错的地方教师不能采取一字定案的方法--说“错”。我们可以这样说:“你的表达很流利，只是思考不深入，坐下再想想，相信你第二次会回答得更好。”然后我们应启发学生去找出错误的根源，特别要鼓励学生自己发现回答中的错误，给予“再答”的机会，使之更正或补充、完善答案。 

三、灵活多样的教学方法，培养学生独立思考的能力 

1.抛砖引玉法。抛砖引玉法就是在课堂讲授时，教师讲关键点、要害，把线索思路抛出去，然后留一定时间让学生思考出事物的本质特征。例如在讲数列的简单应用时，用到了单利和复利，我没有告诉学生怎么做，只是解释了单利和复利的定义，让学生通过小组讨论找出问题的解决方法。整个问题解决过程中，我是引导者，问题的讨论分析、结论的得出都由学生来完成，既增长了学生的知识，又培养了动手能力、交流能力、独立思考能力。

2.联想教学法。联想是由某一问题引起另一问题的心理过程，是客观事物之间的联系在人们头脑中的反映，是思维的一种属性。课堂教学中充分调动学生的联想，不仅能活跃思维，而且能够增加知识的有序性，形成牢固的知识网络，培养发散思维和独立思考能力。 

3.横向联系教学法。横向联系法就是教师在引领学生透彻理解教材所反映的知识体系外，跨学科综合电工、机械等相关学科的知识，如电工中的交流电、机械制图等，找准综合学习的切入点，将相关知识纵横整合，创设出有利于学生独立思考的新的学习氛围。这样既活跃了班级的气氛又很好地把学科之间的知识串起来。

课堂教学不应该是从逗号走向句号的过程，而应是引导学生带着问号进入课堂，在教学中产生更多的问号的过程。正是有了这个问号，引导着无数人去思考，推动着社会不断向前发展。

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