1²+2²+3²+……+n²=怎么算

计算公式为：
1²+2²+3²+……n²=n(n+1)(2n+1)/6。
计算过程如图显示：

扩展资料：
类似的公式：
（1）1+2+...+n=n(n+1)/2；
（2）1³+2³+...+n³=[n(n+1)/2]²；
（3）1+3+5+...+(2n-1)=n²。
整数的乘法：
（1）从个位乘起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数；
（2）用第二个因数那一位上的数去乘，得数的末位就和第二个因数的那一位对齐；
（3）再把几次乘得的数加起来；
乘法运算性质
（1）几个数的积乘一个数，可以让积里的任意一个因数乘这个数，再和其他数相乘。
例如：(25×3 × 9)×4=25×4×3×9=2700。
（2）两个数的差与一个数相乘，可以让被减数和减数分别与这个数相乘，再把所得的积相减。
例如： (137-125)×8=137×8-125×8=96。
加法的运算性质：
（1）加法交换律:a+b=b+a；
（2）加法结合律:a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c。

公式：1²+2²+3²+....+N²=n（n+1）(2n+1)/6

证明：
给个算术的差量法求解：

我们知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1，可以得到下列等式：

2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.........
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1

以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
化简整理得到：
Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6

在证明之间，先说明两个公式：

1. a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

2. 1 + 2 + 3 + ……+n = n(n+1)/2

因为：

n³-(n-1)³ = [n-(n-1)][n²+n(n-1)+(n-1)²]

               = n² + n² - n + n² - 2n + 1

               = 3n² - 3n + 1

(n-1)³-(n-2)³ = 3(n-1)²-3(n-1)+1

(n-2)³-(n-3)³ = 3(n-2)²-3(n-2)+1

………………

4³     - 3³       = 3×4² - 3×4    +1

3³     - 2³       = 3×3² - 3×3    +1

2³     - 1³       = 3×2² - 3×2    +1

1³     - 0³       = 3×1² - 3×1    +1

把这些得到的式子左、右两边分别相加，可以得到：

n³ - 0³ = 3×(1²+2²+3²+……+n²) - 3×(1+2+3+……+n) + n×1

n³ + 3×(1+2+3+……+n) - n = 3×(1²+2²+3²+……+n²)

n³ + 3×n(n+1)/2 - n = 3×(1²+2²+3²+……+n²)

[2n³+3n(n+1)-2n]/2 = 3×(1²+2²+3²+……+n²)

[2n³+3n²+3n-2n]/2  = 3×(1²+2²+3²+……+n²)

(2n³+3n²+n)/2 = 3×(1²+2²+3²+……+n²)

n(2n²+3n+1)/2 = 3×(1²+2²+3²+……+n²)

n(n+1)(2n+1)/2 = 3×(1²+2²+3²+……+n²)

所以，

1²+2²+3²+……+n² = n(n+1)(2n+1)/6

1²+2²+3²+....+n²=n(n+1)(2n+1)/6

n(n+1)(2n+1)/6
用恒等式(1+n)³=1+3n+3n²+n³来证

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哈哈 复杂 都是数学天才 用的着那么复杂吗?因为1²+2²+3²+……+98²+99²=n(n+1)(2n+1)÷6 就是= 所以n(n+1)(2n+1)÷6=1²+2²+3²+……+98²+99²所以的出结果 ...

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1²＋2²＋3²＋...＋19²=19×20×39\/6 =2470 公式：1²+2²+..+n²=n(n+1)(2n+1)\/6 明教为您解答，如若满意,请点击[满意答案];如若您有不满意之处,请指出,我一定改正!希望还您一个正确答复!祝您学业进步!

一平方+二平方+三平方+四平方+五平方+六平方+七平方+八平方+九平方=...
因为1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)\/6 所以一平方+二平方+三平方+四平方+五平方+六平方+七平方+八平方+九平方 =9*（9+1）（2*9+1）\/6 =9*10*19\/6 =3*5*19 =285