数学的第二归纳法的定义
就是说，你先要证明，如果当n=k时，命题P成立，那么当n=k+1时，命题P也成立。然后还要证明，当n=1时，命题P成立，这样就可以推出，对于所有正整数n，命题P都成立。
最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步： 证明当n= 1时命题成立。 假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数） 这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以： 证明第一张骨牌会倒。 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。 那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。
数学归纳法是一种重要的论证方法。它们通常所说的“数学归纳法”大多是指它的第一种形式而言，本文想从最小数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法进行粗略的探讨，旨在加深对数学归纳法的认识。
编辑本段原理
第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果： （1）当n＝1时，命题成立； （2）假设当n≤k时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。 那么，命题对于一切自然数n来说都成立。
编辑本段证明
用反证法证明。 假设命题不是对一切自然数都成立。命N表示使命题不成立的自然数所成的集合，显然N非空，于是，由最小数原理N中必有最小数m，那么m≠1，否则将与（1）矛盾。所以m－1是一个自然数。但m是N中的最小数，所以m－1能使命题成立。这就是说，命题对于一切≤m－1自然数都成立，根据（2）可知，m也能使命题成立，这与m是使命题不成立的自然数集N中的最小数矛盾。因此定理获证。 当然，定理2中的（1），也可以换成n等于某一整数k。 对于证明过程的第一个步骤即n＝1（或某个整数a）的情形无需多说，只需要用n＝1（或某个整数a）直接验证一下，即可断定欲证之命题的真伪。所以关键在于第二个步骤，即由n≤k到n＝k＋1的验证过程。事实上，我们不难从例1的第二个步骤的论证过程中发现，证明等式在n＝k＋1时成立是利用了假设条件；等式在n＝k及n＝k－1时均需成立。同样地，例2也不例外，只是形式的把n＝k及n＝k－1分别代换成了n＝k－1和n＝k－2。然而例3就不同了，第二个步骤的论证过程，是把论证命题在n＝k＋1时的成立问题转化为验证命题在n＝k－2＋1时的成立问题。换言之，使命题在n＝k＋1成立的必要条件是命题在n＝k－2＋1时成立，根据1的取值范围，而命题在n＝k－k＋1互时成立的实质是命题对一切≤k的自然数n来说都成立。这个条件不是别的，正是第二个步骤中的归纳假设。以上分析表明，假如论证命在n＝k＋1时的真伪时，必须以n取不大于k的两个或两个以上乃至全部的自然数时命题的真伪为其论证的依据，则一般选用第二数学归纳法进行论证。之所以这样，其根本原则在于第二数学归纳法的归纳假设的要求较之第一数学归纳法更强，不仅要求命题在n=k时成立，而且还要求命题对于一切小于k的自然数来说都成立，反过来，能用第一数学归纳法来论证的数学命题，一定也能用第二数学归纳进行证明，这一点是不难理解的。不过一般说来，没有任何必要这样做。 第二数学归纳法和第一数学归纳法一样，也是数学归纳法的一种表达形式，而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，之所以采用不同的表达形式，旨在更便于我们应用。
数学的第二归纳法的定义:
(1)验证n取第一个值n0时，命题成立；
(2)假设n<k 时，命题成立，证明 n=k时，命题也成立。
由（1）（2）可以得出，命题对一切n∈N，n≥n0都成立。
第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果： （1）当n＝1时，命题成立； （2）假设当n≤k时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。 那么，命题对于一切自然数n来说都成立。
编辑本段证明
用反证法证明。 假设命题不是对一切自然数都成立。命N表示使命题不成立的自然数所成的集合，显然N非空，于是，由最小数原理N中必有最小数m，那么m≠1，否则将与（1）矛盾。所以m－1是一个自然数。但m是N中的最小数，所以m－1能使命题成立。这就是说，命题对于一切≤m－1自然数都成立，根据（2）可知，m也能使命题成立，这与m是使命题不成立的自然数集N中的最小数矛盾。因此定理获证。 当然，定理2中的（1），也可以换成n等于某一整数k。 对于证明过程的第一个步骤即n＝1（或某个整数a）的情形无需多说，只需要用n＝1（或某个整数a）直接验证一下，即可断定欲证之命题的真伪。所以关键在于第二个步骤，即由n≤k到n＝k＋1的验证过程。事实上，我们不难从例1的第二个步骤的论证过程中发现，证明等式在n＝k＋1时成立是利用了假设条件；等式在n＝k及n＝k－1时均需成立。同样地，例2也不例外，只是形式的把n＝k及n＝k－1分别代换成了n＝k－1和n＝k－2。然而例3就不同了，第二个步骤的论证过程，是把论证命题在n＝k＋1时的成立问题转化为验证命题在n＝k－2＋1时的成立问题。换言之，使命题在n＝k＋1成立的必要条件是命题在n＝k－2＋1时成立，根据1的取值范围，而命题在n＝k－k＋1互时成立的实质是命题对一切≤k的自然数n来说都成立。这个条件不是别的，正是第二个步骤中的归纳假设。以上分析表明，假如论证命在n＝k＋1时的真伪时，必须以n取不大于k的两个或两个以上乃至全部的自然数时命题的真伪为其论证的依据，则一般选用第二数学归纳法进行论证。之所以这样，其根本原则在于第二数学归纳法的归纳假设的要求较之第一数学归纳法更强，不仅要求命题在n=k时成立，而且还要求命题对于一切小于k的自然数来说都成立，反过来，能用第一数学归纳法来论证的数学命题，一定也能用第二数学归纳进行证明，这一点是不难理解的。不过一般说来，没有任何必要这样做。 第二数学归纳法和第一数学归纳法一样，也是数学归纳法的一种表达形式，而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，之所以采用不同的表达形式，旨在更便于我们应用。
数列证明之数学归纳法
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归纳法的定义
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归纳法有两种常用定义。一种定义为从个别前提得出一般结论的方法；根据这个定义，它包括简单枚举归纳法、完全归纳法、科学归纳法、穆勒五法、赖特的消除归纳法、逆推理方法和数学归纳法。第二种定义为个别前提或然得出结论的方法；根据此定义，包括简单枚举归纳法、穆勒五法、赖特的消除归纳法、逆推理方法和...
急求归纳分析法科学定义
【归纳方法】 又称归纳法。它有两种常用的定义。一种定义为从个别前提得出一般结论的方法。依据这个定义它包括简单枚举归纳法、完全归纳法、科学归纳法、穆勒五法、赖特的消除归纳法、逆推理方法(参见江天骥著《归纳逻辑导论》)和数学归纳法。第二种定义为从个别前提或然得出结论的方法。依据第二种定义它...
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