我在本科期间遇到的最艰难的数学课程是“微分拓扑”。

此课程的难点在于其高度的自由度和灵活性，让人难以找到合适的角度进行思考。在尝试解决问题时，往往会遇到看似正确的直觉却在反例前被无情地推翻的困境。即便是在微分拓扑中，很多定理实际上是在讨论拓扑操作的可行性，使得许多结论看起来自相矛盾，让人疑惑为什么需要证明它们。

例如，有一个结论声称：如果 [公式] 是 [公式] 中的两个子流形，并且 [公式] ，那么我们能够通过扰动其中一个子流形，比如 [公式] ，使得它们不再相交： [公式] 。这个结论看起来似乎直觉上很容易实现，但仔细思考却能引发疑问：在任意弯曲的流形中也能实现吗？当我们试图证明这个结论时，会发现自己在草稿纸上无从下手。

实际上，这个结论是Thom横截扰动定理的一个推论。Thom定理指出，如果 [公式] 是两个光滑流形， [公式] 是一个子流形，并且在 [公式] 上给定某个度量结构 [公式] ，那么对于任意 [公式] 及任意正函数 [公式] ，总能找到一个与 [公式] 同伦的 [公式] ，使得 [公式] 与 [公式] 横截相交，且 [公式] 中横截性是稠密的。这个结论表明，我们总可以通过扰动一个光滑映射，使得它与它的像集中的某个子流形横截相交，从而证明横截性是一个普遍的性质。

然而，当稍微改变条件，例如 [公式] 都是全纯复流形，且扰动需要是全纯扰动时，结论是否仍然正确？答案是肯定的，但存在反例。这表明在微分拓扑中，很多几何结论的证明都离不开这些操作，甚至能引导出直观但不易想到证明的结论。

例如，如果 [公式] 是一个秩为 [公式] 的向量丛，但 [公式] ，则 [公式] 一定可以分裂为 [公式] ，其中 [公式] 是一个秩为 [公式] 的向量丛，而 [公式] 是一个秩为 [公式] 的平凡丛。直观上，这个结论告诉我们，流形上“容不下”秩过高的向量丛，一旦超过底流形的维数，余下的部分必然是平凡的。

证明这个结论并不困难，但不容易想到。我们可以通过找到 [公式] 的一个处处非零截面 [公式] 来实现。如果截面 [公式] 有零点，那么意味着 [公式] ，但注意到 [公式] 和 [公式] 都是 [公式] 的子流形，并且 [公式] ，因此我们可以通过扰动 [公式] 使得它与 [公式] 不相交，从而得到没有零点的截面。这样，[公式] 自己就张成了一个平凡线丛 [公式] ，从而实现了分裂 [公式] 。如果 [公式] 的秩仍然高于 [公式] ，我们可以通过重复这个操作直到秩降至与底流形相等。

虽然证明过程有依据，但总给人一种“凭直觉证明”的感觉，让人觉得不够严谨。这正是微分拓扑课程的挑战所在。

在低维拓扑中，操作和叙述通常较为直观，如切割、粘合、手术等。而“拓扑量”，如同调、指标、示性类、基本群等，则显得更加严谨，因为它们可以精确计算得出结果。

对于Thom横截扰动定理的证明，其核心思路基于Sard定理。横截性实际上是在要求光滑映射在某些点处具有满秩性，从而由Sard定理确保我们总能找到这样的点。首先，在简单情况下，即 [公式] 时，扰动 [公式] 使得扰动后有 [公式] 等价于 [公式] 在剩余的 [公式] 个维度上具有满秩性，即令 [公式] ，则 [公式] 是 [公式] 的正则值，这当然可以实现，因为萨德定理保证我们可以选取 [公式] 的正则值 [公式] ，然后令 [公式] 即可满足。因此，当 [公式] 为直时，总能找到这样的扰动。

接下来，假设 [公式] 仍然是直的，而 [公式] 是弯的时，我们可以通过找到局部坐标系 [公式] ，其中 [公式] 是 [公式] 中的开子集，使得 [公式] ，从而在非横截处利用这种坐标系重复第一步的操作即可。最后，当 [公式] 都不是直的时，我们可以通过Whiteny嵌入定理将 [公式] 嵌入足够大的 [公式] ，然后在 [公式] 中执行第二步的操作。得到的扰动可能离开 [公式] ，这时可以通过管状邻域定理，选取 [公式] 是 [公式] 在 [公式] 中的一个 [公式] 管状邻域，再定义 [公式] 为相应的收缩，然后在 [公式] 中执行扰动操作，最后令 [公式] ，即可得到所需的扰动。

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