为什么要进行傅立叶变换？傅立叶变换究竟有何意义？

当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。任意的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

图像的变换
1. 离散傅立叶变换的 Matlab 实现
Matlab 函数 fft、fft2 和 fftn 分别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 算法；这些函数的调用格式如下：
A＝fft(X,N,DIM)
其中，X 表示输入图像；
N 表示采样间隔点，如果 X 小于该数值，那么 Matlab 将会对 X 进行零填充，
否则将进行截取，使之长度为 N ；
DIM 表示要进行离散傅立叶变换。
A＝fft2(X,MROWS,NCOLS)
其中，MROWS 和 NCOLS 指定对 X 进行零填充后的 X 大小。
A＝fftn(X,SIZE)
其中，SIZE 是一个向量，它们每一个元素都将指定 X 相应维进行零填充后的长度。
2.离散傅立叶反变换的 Matlab 实现
Matlab 函数 ifft、ifft2 和 ifftn 则用来计算反 DFT 。函数 ifft、ifft2 和 ifftn的调用格式于对应的离散傅立叶变换函数一致。

例子：图像的二维傅立叶频谱
% 读入原始图像
img=imread('rabbit_0.bmp');
I=rgb2gray(img);imshow(I)
% 求离散傅立叶频谱
J=fftshift(fft2(I));
K=log(abs(J));
figure;
subplot(1,2,1);imshow(img,[]);
subplot(1,2,2);imshow(K,[]);

六. 举例
i=imread('e:\w01.tif');
figure(1);
imshow(i);
colorbar;
j=fft2(i);
k=fftshift(j);
figure(2);
l=log(abs(k));
imshow(l,[]);
colorbar
n=ifft2(j)/255;
figure(3);
imshow(n);
colorbar;

第一题你看，1/(8+jw)^2 就是两个1/(8+jw)相乘，那么他的逆变换就是两个1/(8+jw)的逆变换的卷积。1/(8+jw)的逆变换是一个单位阶跃的简单时移，卷积你自己去算

第二题更简单，ε(w+w1)-ε(w-w1)直接积分就行了，用傅里叶变换的定义也能算，是一个简单的，对城中心在原点的正弦函数乘以一个虚单位j。

单边傅里叶变换和双边傅里叶变换
1. 是两种不同的频域分析方法。2. 单边傅里叶变换是指对一个实函数进行傅里叶变换，得到的频谱是关于频率的单边函数，只包含正频率或负频率的信息。这是因为实函数的频谱是对称的，只需要表示一半即可。而双边傅里叶变换则是对一个复函数进行傅里叶变换，得到的频谱是关于频率的双边函数，同时包含正...

单边指数信号的傅里叶变换
常用函数的傅里叶变换公式表如下：1、门函数F(w)=2w w sin=Sa() w。2、指数函数（单边）f(t)=e-atu(t) F(w)=1，实际上是一个低通滤波器a+jw。3、单位冲激函数F（w）=1，频带无限宽，是一个均匀谱。4、常数1 常数1是一个直流信号，所以它的频谱当然只有在w=0的时候才有值，体现为...

信号与系统试题中怎样求单个梯形的傅里叶变换
看成2个三角形相减；是不是等腰呀。或先计算其导数的CFT，再除以jw即可

常数1的傅立叶变换求解过程(极限法)
令： f(t)=δ(t)，那么： ∫(∞,-∞) δ(t)e^(-iωt)dt = 1 而上式的反变换：(1\/2π) ∫(∞,-∞)1 e^(iωt)dt = δ(t) \/\/：Dirac δ(t) 函数；从而得到常数1的傅里叶变换等于：2πδ(t)

简单的傅立叶变换问题
图像的变换 1. 离散傅立叶变换的 Matlab 实现 Matlab 函数 fft、fft2 和 fftn 分别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 算法；这些函数的调用格式如下：A＝fft(X,N,DIM)其中，X 表示输入图像；N 表示采样间隔点，如果 X 小于该数值，那么 Matlab 将会对 X 进行零填充，否则将进行截取，使之长度为...

求题图所示锯齿脉冲与单周正弦脉冲的傅里叶变换
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求单边系统信号f(t)=cos(wt)u(t)的傅里叶变换f(w)
求解单边系统信号f(t) = cos(ωt)u(t)的傅里叶变换f(ω)，首先我们可以利用欧拉公式将cos(ωt)表示为复指数的形式。根据欧拉公式，我们知道cos(ωt)可以写作(e^(jωt) + e^(-jωt))\/2。接下来，我们将这个表达式代入傅里叶变换的定义式中进行计算。考虑到u(t)是单边信号，即在t<0时...

看一下简单的傅里叶变换为什么显示f =transform::fourier(sin(2*t...
结果与Dirac delta 函数 δ(x)有关 属于广义函数

这个冲激函数的傅里叶变换怎么求啊?单独的不会啊
冲激函数的傅里叶变换就是个常数，根据不同的傅里叶变换的定义可能是不同的常数(1或者1\/2pi之类）

常数1的傅里叶变换
已知单位脉冲函数的傅里叶变换为1，数学表达为：。逆变换回时间域后，我们获得单位脉冲函数，数学表示为：。若我们将t替换为-t，等式依然成立，从而得到：。通过等式两边同时乘以特定项，我们能够进一步简化表达式为：。考虑到单位脉冲函数是偶函数这一性质，我们可以得出：。将单位脉冲函数的傅里叶变换替换...