自18世纪至19世纪初，数学家们如L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶和J.-V.彭赛列等人的研究中，已经涉及了一些具体函数的最佳逼近问题。这些问题源于实际应用，如绘图学、测地学和机械设计，但当时尚未形成系统的理论框架。切比雪夫在函数逼近领域做出了重要贡献，他提出了最佳逼近的概念，研究了n次多项式作为逼近函数类的最佳逼近元的性质，并建立了判定多项式是否为最佳逼近元的特征定理。他关注的是在【-1,1】区间上，使函数偏差最小的n阶多项式，这就是著名的切比雪夫多项式。

在1885年，德国数学家K.（T.W.）外尔斯特拉斯的贡献更为深远。他证明了一个定理，指出任何连续函数理论上可以用多项式在定义区间上一致地近似，但并未给出选择最佳逼近多项式的具体方法。这时，问题转向如何在不超过固定次数n的多项式中选择误差最小的多项式，这正是切比雪夫逼近的核心思想。可以说，切比雪夫和外尔斯特拉斯为现代函数逼近论的发展奠定了基础，他们的工作开启了对函数用多项式逼近的深入研究。

函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题:在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是已知函数ƒ在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示 ƒ而产生的误差。这就是函数逼近问题。在函数逼近问题中,用来逼近已知函数ƒ的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了,在该类函数中用作ƒ的近似表示的函数g的确定方式仍然是各式各样的;g对ƒ的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义。所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。

函数逼近论函数逼近论的产生
这些问题源于实际应用，如绘图学、测地学和机械设计，但当时尚未形成系统的理论框架。切比雪夫在函数逼近领域做出了重要贡献，他提出了最佳逼近的概念，研究了n次多项式作为逼近函数类的最佳逼近元的性质，并建立了判定多项式是否为最佳逼近元的特征定理。他关注的是在【-1,1】区间上，使函数偏差最小的n阶...

函数逼近论的函数逼近论的产生
已知【α,b】区间上的连续函数ƒ(x),假,(n≥0),叫做ƒ(x)的n阶最佳一致逼近值,也简称为最佳逼近值，简记为En(ƒ)。能使极小值实现的多项叫做 ƒ(x)的n阶最佳逼近多项式。切比雪夫证明了,在区间【-1,1】上函数xn+1的n阶最佳逼近多项式 必满足关系式。多项就是著名...

函数逼近论的发展
这一理论主要在以下几个方面取得了很大进展： 在逼近论中系统地阐明函数的最佳逼近值En(ƒ)（借助于代数多项式来逼近,或者对2π周期函数借助于三角多项式来逼近，或借助于有理函数来逼近等等）的数列当n→∞时的性态和函数ƒ（x）的构造性质（可微性、光滑性、解析性等等）之间内在联系的理...

函数逼近论发展
1. 定量理论：通过系统研究，定量理论揭示了函数最佳逼近值En(ƒ)（如代数多项式逼近、三角多项式或有理函数逼近）与函数构造特性（如可微性、光滑性、解析性）之间的内在联系。杰克森和伯恩斯坦等人的工作表明，2π周期函数的r阶导数充分必要条件是其最佳逼近值满足特定条件，这个定理深刻揭示了两者间...

函数逼近论逼近函数类
在处理函数逼近问题时，关键步骤是寻找一个简单的函数类来近似给定的函数ƒ(x)。这个特定的函数类被称为逼近函数类，它提供了多种可能的选项来实现这种近似。最常见的两种是n次代数多项式，它由所有形式的函数组成，其中α0, α1, ..., αn是实数，k取值从0到n。另一种是n阶三角多项式，其...

数学中的逼近理论是如何将一函数用较简单的函数来找到最佳逼近
有无穷小到底是多小的概念来考虑，函数逼近就是用多项式或者其他的关联函数来代替原函数，这其中必然是有差别的，但是随着变量趋近无穷，之间的差距会越来越小，以至于可以等同起来。高等数学一般采用泰勒展开式来变一般的函数为多项式。高阶的往往很复杂，只具有理论研究意义，工程数学一般采用二阶足够。

函数逼近论的逼近方法
所谓线性算子是指某种逼近方法l，对于被逼近函数 ƒ、g，在逼近函数类中有l(ƒ)、l(g)近似表示它们，并且对于任意实数α、β都有l(αƒ+βg)=αl(ƒ)+βl(g)。线性算子逼近方法构造方便。一个典型的例子是2π周期的连续函数ƒ(x)的n 阶傅里叶部分和Sn(ƒ...

切比雪夫主要经历
切比雪夫是俄罗斯数学的奠基人和领袖，对概率论、解析数论和函数逼近论的开创性工作改变了欧洲对俄罗斯数学的看法。他以卓越才能和独特魅力吸引了一批年轻数学家，形成彼得堡数学学派，使俄罗斯数学摆脱落后，走向世界前列。在概率论领域，切比雪夫从基础问题入手，对大数定律进行深入研究，提出一系列概念和方法...

数学分析手段有什么?
函数逼近理论：函数逼近理论是研究如何用简单的函数来近似复杂的函数，主要工具是泰勒级数和傅里叶级数。微分方程：微分方程是研究含有未知函数及其导数的关系式的问题，主要工具是分离变量法、齐次法和非齐次法等。线性代数：线性代数是研究向量空间和线性映射的性质，主要工具是矩阵和行列式。通过线性代数，...

数值分析(7):函数逼近
数值分析(7)：函数逼近 在数值分析中，当我们处理插值点不精确的情况时，不再追求精确通过每个点，而是寻求在低次多项式下，使函数与插值点之间的误差保持在可接受的范围内，这就是函数逼近的核心思想。主要关注两个概念：代数多项式空间和函数空间。代数多项式空间由满足加法和数乘运算的多项式组成，而函数...