谁有希望杯初一难题，越难越好。为决赛冠军努力！
供稿：hz-xin.com 日期：2024-05-01
以我最喜欢的体育运动为题语文作文700字满分
那么N的最小值是多少？
2. A除以2009=2008.......B，要使余数B最大，则被除数A是什么？
3.1，2，3，.....，2009这2009个数中选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被46整除，那么这样的数最多能选出几个？
4.若P和Q均为质数，且35P+13Q=135则P=几，Q=几
5.2008可以表示成三个质数的和的形式，则这三个质数分别是哪三个数？
需要详细解题过程啊！
初一数学希望杯竞赛练习卷
班级___________ 姓名 __________
一、选择题：
1、已知数轴上三点A、B、C分别表示有理数 、1、－1，那么 表示（ ）
（A）A、B两点的距离 （B）A、C两点的距离
（C）A、B两点到原点的距离之和 （D）A、C两点到原点的距离之和
2、王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只 元，稍后又买回3只羊，平均每只 元，后来他以每只 的价格把羊全部卖掉了，结果发现赔了钱，赔钱的原因是（ ）
（A） （B） （C） （D）与 、 的大小无关
3、两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（ ）
（A）273 （B）819 （C）1199 （D）1911
4、某班级共48人，春游时到杭州西湖划船，每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐5
人，租金24元，则该班至少要花租金（ ）
（A）188元 （B）192元 （C）232元 （D）240元
5、已知三角形的周长是 ，其中一边是另一边2倍，则三角形的最小边的范围是（ ）
（A） 与 之间 （B） 与 之间 （C） 与 之间 （D） 与 之间
6、两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的容积之比为 :1，另一个瓶子中酒精与水的容积之比是 :1，把两瓶溶液混在一起，混合液中酒精与水的容积之比是( ）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题：
7、已知 ， ， ，且 ＞ ＞ ，则 ＝ ；
8、设多项式 ，已知当 ＝0时， ；当 时， ，
则当 时， ＝ ；
9、将正偶数按下表排列成5列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第一行 2 4 6 8
第二行 16 14 12 10
第三行 18 20 22 24
第四行 32 30 28 26
…… … … … …
根据表中的规律，偶数2004应排在第 行，第 列；
10、甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是__________米；
11、有人问李老师：“你班里有多少学生？”，李老师说：“我班现在有一半学生在参加数学竞赛，四分之一的学生在参加音乐兴趣小组，七分之一的学生在阅览室，还剩三个女同学在看电视”。则李老师班里学生的人数是 ；
12、如图，B、C、D依次是线段AE上三点，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，则图中以A、B、C、D、E这五个点为端点的所有线段长度之和等于 。
13、某个体服装经销商先以每3件160元的价钱购进一批童装，又以每4件210元的价钱购进比上一次多一倍的童装. 他想把这两批童装全部转手，并从中获利20%，那么，他需要以每3件______元出手。
14、已知x、y满足 ，则代数式 的值为________。
15、已知12 + 22 +32 +……+ n2 = 16 n(n+1)(2n+1)，则22 + 42 +62 +……+1002 =________。
三、解答题：
16、求不等式 的整数解。
17、钟表在12点时三针重合，问经过多少分钟秒针第一次将分针和时针的夹角（指
锐角）平分？（用分数表示）
18、甲、乙两人沿着圆形跑道匀速跑步，他们分别从直径AB两端同时反向起跑第一次相遇时离A点100米，第二次相遇时离B点60米，求圆形跑道的总长。
19、五个整数a、b、c、d、e，它们两两相加的和按从小到大顺序排分别是183，186，187，190，191，192，193，194，196，x。已知a<b<c<d<e, x>196.
（1） 求a、b、c、d、e和x的值；
（2） 若y=10x+4，求y的值。
“希望杯”数学邀请赛培训题1
一．选择题（以下每题的四个选择支中，仅有一个是正确的）
1．－7的绝对值是（ ）
（A）－7 （B）7 （C）－1/7 （D）1/7
2．1999－ 的值等于（ ）
（A）－2001 （B）1997 （C）2001 （D）1999
3．下面有4个命题：
①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。
②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。
③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。
④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。
其中正确的命题是：（ ）
（A）①和② （B）②和③
（C）③和④ （D）④和①
4.4ab c 的同类项是（ ）
（A）4bc a （B）4ca b （C） ac b （D） ac b
5．某工厂七月份生产某产品的产量比六月份减少了20％，若八月份产品要达到六月份的产量，则八月份的产量比七月份要增加（ ）
（A）20％ （B）25％ （C）80％ （D）75％
6． ， ， ， 四个数中，与 的差的绝对值最小的数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．如果x=― , Y=0.5,那么X ―Y ―¬¬¬¬¬¬¬2X的值是( )
(A)0 (B) (C) (D) ―
8.ax+b=0和mx+n=0关于未知数x的同解方程，则有（ ）
（A）a +m >0. （B）mb≥an.
（C）mb≤an. （D）mb=an.
9．（－1）＋（－1）－（－1）×（－1）÷（－1）的结果是（ ）
（A）－1 （B）1 （C）0 （D）2
10．下列运算中，错误的是（ ）
（A）2X ＋3X ＝5X （B）2X －3X ＝－1
（C）2X •3X ＝6X （D）2X ÷4X ＝
11．已知a<0,化简 ，得( )
(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) －2
12．计算（－1） ＋（－1） ÷|－1|的结果是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）2
13．下列式子中，正确的是（ ）
（A）a •a =a . （B）(x ) =x .
（C）3 =9. （D）3b•3c=9bc.
14.－|－3|的相反数的负倒数是（ ）
（A）－ （B） （C）－3 （D）3
15．十月一日亲朋聚会，小明统计大家的平均年龄恰是38岁，老爷爷说，两年前的十月一日也是这些人相聚，那么两年前相聚时大家的平均年龄是（ ）岁。
（A）38 （B）37 （C）36 （D）35
16．若a<0,则4a+7|a|等于( )
(A) 11a (B)－11a (C) －3a (D)3a
17．若有理数x. y满足|2x-1|+(y+2) ＝0，则x. y的值等于（ ）
（A）－1 （B）1 （C）－2 （D）2
18．有理数a, b, c在数轴上对应的点如图所示：则下面式子中正确的是（ ）
（A）c + b > a + b. (C)ac > ab
(B)cb < ab. (D) cb > ab
19．不等式 < 1的正整数解有（ ）个。
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
20．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且完成该任务后才能执行下一项任务，现有U，V，W的时间分别为10秒，2分和15分，一项任务的相对等待时间为提交任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比，则下面四种执行顺序中使三项任务相对等候时间之和最小的执行是（ ）。
（A）U，V，W． （B）V，W，U
（C）W，U，V． （D）U，W，V
21．如图，线段AD，AB，BC和EF的长分别为1，8，3，2，5和2，记闭合折线AEBCFD的面积为S，则下面四个选择中正确的是（ ）
(A) S=7.5 (B) S=5.4
(C) 5.4<S<7.5 (D)4<S<5.4.
22．第一届希望杯的参赛人数是11万，第十届为148万，则第届参赛人数的平均增长率最接近的数值是（ ）。
（A）21.8%. (B) 33.5% (C)45% (D) 50%
23．已知 X和YI满足3X＋4Y＝2，X－Y<1，则（ ）。
（A） （B） （C） (D)
24．下面的四句话中正确的是（ ）
A．正整数a和b的最大公约数大于等于a。
B．正整数a和b的最小公倍数大于等于ab。
C．正整数a和b的最大公约数小于等于a。
D．正整数a和b的公倍数大于等于ab。
25．已知a≤2，b≥－3，c≤5,且a－b＋c＝10，则a＋b＋c的值等于（ ）。
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
“希望杯”数学邀请赛培训题2
26． 的相反数除－6的绝对值所得的结果是＿＿＿。
27．用科学记数法表示：890000＝＿＿＿＿。
28．用四舍五入法，把1999.509取近似值（精确到个位），得到的近似数是＿＿。
29．已知两个有理数－12.43和－12.45。那么，其中的大数减小数所得的差是＿＿。
30．已知 与 是同类项，则 ＝＿＿。
31． 的负倒数与－|4|的倒数之和等于＿＿。
32．近似数0，1990的有效数字是＿＿。
33．甲、乙、丙、丁四个数之和等于－90，甲数减－4，乙数加－4，丙数乘－4，丁数除－4彼比相等，则四个数中的最大的一个数比最小的一个数大＿＿。
34．已知式子 ＋□＝ ，则□中应填的数是＿＿。
35．（ ÷ ）÷ ＿＿＿。
36．已知角a的补角等于角a的3.5倍，则角a等于＿＿度。
37．已知方程（1.9x－1.1）－（ ）＝0.9（3 x－1）＋0.1，则解得x的值是＿。
38．甲楼比丙楼高24.5米, 乙楼比丙楼高15.6米, 则乙楼比甲楼低___米.
39．如图，四个小三角形中所填四个数之和等于零，则这四个数绝对值之和等于＿＿。
40．关于x的方程3mx＋7＝0和2 x＋3n＝0是同解方程，那么
x－2y=1999
41．方程组 的解是＿＿＿。
2x－y=2000
42．小明骑车自甲地经乙地，先上坡后下坡，到达乙地后立即返回甲地，共用34分钟，已知上坡速度是400米／分，下坡速度是450米／分，则甲地到乙地的路程是＿＿米。
43．父亲比小明大24岁，并且1998年的年龄是小明2000年年龄的3倍，则小明1999年时的年龄是＿＿岁。
44．已知 和 是同类项，则 ＿＿＿。
45． ，并且 ＝ 。则
46． 都是二位的正整楼，已知它们的最小公倍数是385，则 的最大值是＿＿。
47．甲瓶食盐水浓度为8％，乙瓶食盐水浓度为12％，两瓶食盐水共重1000克，把甲、乙两瓶食盐后的浓度是10.08％，则甲瓶食盐水重＿＿＿克。
48．如图所示的五角星形中共可数出＿＿个三角形。
49．已知 则 =_____。
50．已知数串1，1，2，3，5，8，13，……，从第3个数起每个数都等于它前面相邻的两个数之和，那么，数串中第1999个数被3除所得的余数是＿。
“希望杯”数学邀请赛培训题3
51．将一个长为 ，宽为 的矩形分为六个相同的小矩形，
然后在矩形中画出形如字母M的图形，记字母M的
图形面积为S，则S＝＿＿。
52．有理数－3，＋8，－ ，0.1，0， ，－10.5，－0.4中，所有正数的和填在下式的〇中，所有负数的和填在正式下式的□中，并计算出下式的结果填在等号左边的横线上。 〇÷□＝＿＿。
53．填数计算：〇中填入最小的自然数，△中填入最小的非负数，□中填入不小于－5且小于3的整数的个数，将下式的计算结果写在等号右边的横线上。（〇＋□）×△＝＿＿。
54．从集合 中取出三个不同的数，可能得到的最大乘积填在□中，可－能得到的最小乘积填在〇中并将下式计算的结果写在等号右边的横线上。－（－□）÷〇＝＿＿。
55．计算：
56．有这样一个衡量体重是否正常的简单算法。一个男生的标准体重（以公斤为单位）是其身高（以厘米为单位）减去110。正常体重在标准体重减标准体重的10％和加标准体重的10之间。已知甲同学身高161厘米，体重为W，如果他的体重正常，则W的公斤数的取值范围是_____.
57．若A是有理数，则 的最小值是＿＿＿.
58．计算：
.
59．有理数 在数轴上的位置如图所示，化简
60．X是有理数，则 的最小值是_____.
61．如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的
中点，已知图中所有线段的长度之和为23，
则线段AC的长度为_____.
62．设 和 为非负整数，已知 和 的最小公倍数为36，
63．甲、乙同在一百米起跑线处，甲留在原地未动，乙则以每秒7米的速度跑向百米终点，5秒后甲听到乙的叫声，看到乙跌倒在地，已知声音的传播速度是每秒340米，这时乙已经跑了_____.米（精确到个位）
64．现有一个代数式 时该
数式的值为 时该代数式的值为 则
65．如图，一个面积为50平方厘米的正方形与另
一个小正方形并排放在一下起，则 的
面积是＿＿平方厘米。
66．在六位数25 52中 皆是大于7的数码，这个六位数被11整除，那么，四位数 。
67．今有1分，2分和5分的硬币共计15枚，共值5角2分，则三种硬币个数的乘积是＿＿＿。
68．数学小组中男孩子数大于小组总人数的40％小于50％，则这个数学小组的成员至少有＿＿＿人。
69．用三个数码1和三个数码2可以组成＿＿个不同的四位数。
70．在三位数中，百位比十位小，并且十位比个位小的数共有＿＿个。
71．在100--1999这一千九百个自然数中，十位与个位数字相同的共有＿＿个。
72，有人问毕达哥拉斯，他的学校中有多少学生，他回答说：“一半学生学数学，四分之一学音乐，七分之一正休息，还剩三个女学生。”问毕达哥拉斯的学校中有多少学生？
答：毕达哥拉斯的学校中有＿＿个学生。
73．丢番图（二世纪时希腊数学家）的基碑上的墓志铭记载：“哲人丢番图，在此处埋葬，寿命相当长，六分之一是童年，十二分之一是少年，又过了生命的七分之一，娶了新娘，五年后生了个儿郎，不幸儿子只活了父亲寿命的一半，先父四年亡，丢番图到底寿多长？”
答：丢番图的寿命是＿＿岁。
74．有人问某儿童，有几个兄弟、有几个姐妹，他回答说：“有几个兄弟，就有几个姐妹。”再问他妹妹，有几个兄弟、几个姐妹，她回答说：“我的兄弟是姐妹的两倍。”问他们兄弟、姐妹各几人？
答：他们有兄弟＿＿人，姐妹＿＿人。
75．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的罗数等于我今年岁数的一半，当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁。”两人现年各多少岁？答：甲现年＿＿岁，乙现年＿＿。
“希望杯”数学邀请赛培训题4
解答题
76．一辆公共汽车由起点站到终点站（含起点站与终点站在内）共行驶8个车站。已知前6个车站共上车100人，除终点站外共下车总计80人，问从前6站上车而在终点下车的乘客共有多少人？
77．已知代数式 ，当 时的值分别为1－，2，2，而且 不等于0，问当 时该代数式的值是多少？
78．如图，在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？
79．有理数 均不为0，且 设 试求代数式 2000之值。
80．已知 为整数， 如果 ，请你证明： 。
2000年全国初中数学竞赛试题解答
一、选择题（只有一个结论正确）
1、设 的平均数为M， 的平均数为N，N， 的平均数为P，若 ，则M与P的大小关系是（ ）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
答：（B）。∵M＝ ，N＝ ，P＝ ，M－P＝ ，∵ ，∴ ＞ ，即M－P＞0，即M＞P。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了 千米，休息了一段时间，又原路返回 千米（ ），再前进 千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）。
答：（C）。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
答：（A）。由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线 平行，与 轴、 轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
答：（B）。在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是 ＝－1＋4N， ＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴ ≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。
5、设 分别是△ABC的三边的长，且 ，则它的内角∠A、∠B的关系是（ ）。
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。
答：（B）。由 得 ，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝ ，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6、已知△ABC的三边长分别为 ，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为 ，面积为S1，且 ，则S与S1的大小关系一定是（ ）。
（A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。
答：（D）。分别构造△ABC与△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1，显然 ，即S＞S1；②设 ，则 ，S＝10， ，则S1＝ ×100＞10，即S＜S1；③设 ，则 ，S＝10， ，则 ，S1＝10，即S＝S1；因此，S与S1的大小关系不确定。
二、填空题
7、已知： ，那么 ＝________。
答：1。∵ ，即 。∴
。
8、如图，在梯形ABCD中，AB‖DC，AB＝8，BC＝6 ，∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD的面积等于________。
答：66＋6 （平方单位）。作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由BC＝6 ，∠BCD＝45°，得AE＝BF＝FC＝6。由∠BAD＝120°，得∠DAE＝30°，因为AE＝6得DE＝2 ，AB＝EF＝8，DC＝2 ＋8＋6＝14＋2 ，∴ 。
9、已知关于 的方程 的根都是整数，那么符合条件的整数有________个。
答：5。①当 时， ；②当 时，易知 是方程的一个整数根，再由 且 是整数，知 ，∴ ；由①、②得符合条件的整数 有5个。
10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。
答：2.4米。作PQ⊥BD于Q，设BQ＝ 米，QD＝ 米，PQ＝ 米，由AB‖PQ‖CD，得 及 ，两式相加得 ，由此得 米。即点P离地面的高度为2.4米。（注：由上述解法知，AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。）
11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线 恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么 ＝________。
答： 。直线 通过点D（15，5），故BD＝1。当 时，直线 通过 ， 两点，则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。
12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________。
（注： ×100％）
答：17％。设原进价为 元，销售价为 元，那么按原进价销售的利润率为 ×100％，原进价降低6.4％后，在销售时的利润率为 ×100％，依题意得：
×100％＋8％＝ ×100％，解得 ＝1.17 ，故这种商品原来的利润率为 ×100％＝17％。
三、解答题
13、设 是不小于 的实数，使得关于 的方程 有两个不相等的实数根 。
（1）若 ，求 的值。
（2）求 的最大值。
解：因为方程有两个不相等的实数根，所以
，∴ 。根据题设，有 。
（1）因为
，即 。
由于 ，故 。
（2）
。
设 上是递减的，所以当 时， 取最大值10。故 的最大值为10。
14、如上图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝ AE，且BD＝2 ，求四边形ABCD的面积。
解：由题设得AB2＝2AE2＝AE•AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD。连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝ 。
∴OH＝ ＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1。
∴ ，∵E是AC的中点，∴ ，
，∴ ，∴ 。
15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）
解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。
对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼， 。交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：
设电梯停在第 层。
①当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为 。
②当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为 。
③当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为 ，前者比后者多 。
④当 时，若住第层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为 ，前者比后者多 。
⑤当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为 ，前者比后者多 。
今设电梯停在第 层，在第一层有 人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：
当 ＝27， ＝6时， ＝316。
所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分
1999年全国初中数学联合竞赛试卷
第一试 （4月4日上午8:30--9:30）
考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。全卷满分70分。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。
1、计算 的值是（ ）。
（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。
2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ ）。
（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。
3、设 ，将一次函数 与 的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）。
4、若函数 ，则当自变量 取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（ ）。
（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。
5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB‖DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（ ）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。
6、有下列三个命题：（甲）若 是不相等的无理数，则 是无理数；（乙）若 是不相等的无理数，则 是无理数；（丙）若 是不相等的无理数，则 是无理数。其中正确命题的个数是（ ）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。
1、已知 且 ，则 ＝________。
2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于________。
3、已知 为整数，且满足 ，则 ＝________。
4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝________。
=============== =============== ===============
第二试 （4月4日上午10:00--11:30）
考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分。
一、（本题满分20分）
某班参加一次智力竞赛，共 三题，每题或者得满分或者得0分。其中题 满分20分，题 、题 满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题 的人数与答对题 的人数之和为29，答对题 的人数与答对题 的人数之和为25，答对题 的人数与答对题 的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？
二、（本题满分25分）
如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。已知圆过点C且与AC相交于F，与AN相切于AB的中点G。求证：AD⊥BF。
三、（本题满分25分）
已知 为整数，方程 的两根都大于－1且小于0，求 和 的值。
=============== =============== ===============
第一试参考答案
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。
1、计算 的值是（ D ）。
（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。
解：原式＝ 。
2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ C ）。
（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。
解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，已知周长是24，则AC＋BC＝14，AC2＋BC2＝102。∴2AC×BC＝（AC＋BC）2－（AC2＋BC2）＝142－102＝4×24。∴ 。
3、设 ，将一次函数 与 的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ B ）。
解：由方程组 的解知两直线的交点为 ，而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于 ，小于 的数，不等于 ，故图D不对；故选B。
4、若函数 ，则当自变量 取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（ B ）。
（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。
解： 当 时， 。∴当自变量 取2、3、…、98时，函数值都为0。而当 取1、99、100时， ，故所求的和为：
。
5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB‖DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（ C ）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。
解：AD的中点M对BC张成90°角，又在AD上取点N使AN＝998，则ND＝1001。由△ABN和△DCN都为等腰三角形推知∠BNC＝90°，注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点，可知所求点的个数为2。
6、有下列三个命题：（甲）若 是不相等的无理数，则 是无理数；（乙）若 是不相等的无理数，则 是无理数；（丙）若 是不相等的无理数，则 是无理数。其中正确命题的个数是（ A ）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。
解： ，只要令 ， ，则 为有理数，故（甲）不对；又若令 ， ，则 为有理数，故（乙）不对；又若令 ，则 为有理数，故（丙）不对；故正确命题个数是0，应选（A）。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。
1、已知 且 ，则 ＝ 2 。
解： ，即 ， ， ，
， ， 。
2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于 44° 。
解：∵∠B＝36°，∠ACB＝128°，AM为∠CAB的平分线，∴∠CAM＝∠MAB＝ ，∵∠AMC＝44°。又AN为切线，∴∠NAC＝∠B＝36°，∠NAM＝44°，∴∠N＝180°－44°－44°＝92°，∴△ANM的最小角为44°。
3、已知 为整数，且满足 ，则 ＝ 3 。
解：左边＝ ，即 ， ，而 为整数，且不相等， 只可能取值 或 。不妨设 ，则 ，或 ，∵（2）无整数解，由（1）得 ， 。
4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝ 。
解：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则△BAM∽△TOB，∴
，即 。令DN＝1，CT＝MD＝ ，则AM＝ ，BM＝ ，BT＝ ，代入（1）式得 ，注意到 ，解得 。
=============== =============== ===============
第二试参考答案
一、（本题满分20分）
某班参加一次智力竞赛，共 三题，每题或者得满分或者得0分。其中题 满分20分，题 、题 满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题 的人数与答对题 的人数之和为29，答对题 的人数与答对题 的人数之和为25，答对题 的人数与答对题 的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？
解：设 分别表示答对题 、题 、题 的人数，则有 ， ， ，∴答对一题的人数为37－1×3－2×15＝4，全班人数为1＋4＋15＝20，∴平均成绩为 。
答：班平均成绩为42分。
二、（本题满分25分）
如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。已知圆过点C且与AC相交于F，与AN相切于AB的中点G。求证：AD⊥BF。
证：作DE⊥AC于E，则AC＝ AE，AG＝ ED。由切割线定理有：AG2＝AF•AC，
∴ ED2＝AF• AE，∴5ED2＝AF•AE，∴AB•ED＝AF•AE，∴ ，∴△BAF∽△AED，∴∠ABF＝∠EAD，而∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠ABF＋∠DAB＝90°，∴AD⊥BF。
三、（本题满分25分）
已知 为整数，方程 的两根都大于－1且小于0，求 和 的值。
解：根据函数 的图象和题设条件知：当 时， ，∴ …①；当 时， ，∴ …②。抛物线顶点的横坐标 满足 ，∴ …③。
∵ ，即 ，∴ …④，由①、③、④得 ，若 ，则由②、④得 且 ，得 ；
若 ，则 且 ，无整数解；
若 ，则 且 ，无整数解；
若 ，则 且 ，无整数解；故所求 的值为 。
1998年全国初中数学竞赛试题及解答
一、选择题(本题共5小题，每小题6分，满分30分)
1．已知a，b，c都是实数，并且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ]
A．ab＞bc
B．a+b＞b+c
C．a-b＞b-c
2．如果方程x2+px+1=0(p＞0)的两根之差为1，那么p等于[ ]
A．2 B．4
3．在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于 [ ]
A．12 B．14
C．16 D．18
一定通过 [ ]
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
个不等式组的整数a，b的有序数对(a，b)共有 [ ]
A．17个 B．64个
C．72个 D．81个
二、填空题(本题共5小题，每小题6分，满分30分)
6．在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F分别是垂足，那么PE+PF=____．
7．已知直线y=-2x＋3与抛物线y=x2相交于A，B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于____．
8．已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为____厘米．
9．已知关于x的方程
a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15＝0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根，那么a=____．
航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A，B两船的最近距离是____千米．
三、解答题(本题共3小题，每小题20分，满分60分)
11．在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积．
(1)求a的值；
(2)求a18+323a-6的值．
13．A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台．现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台．已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费分别为400元和500元．
(1)设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费W(元)关于x(台)的函数式，并求W的最小值和最大值；
(2)设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用x，y表示总运费W(元)，并求W的最小值和最大值．
解 答
1．根据不等式性质，选B．．
2．由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1．又由
(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2，
3．如图3－271，连ED，则
又因为DE是△ABC两边中点连线，所以
故选C．
4．由条件得
三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0．
当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限．
y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．
综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，
的可以区间，如图3－272．
+1，3×8＋2，3×8＋3，……3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．
6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所
7．如图3-274，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)．作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，所以
8．如图3－275，当圆环为3个时，链长为
当圆环为50个时，链长为
9．因为a≠0，解得
故a可取1，3或5．
10．如图3－276，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，
A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，
所以
11．解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为
∠ABE＋∠AEB=90°，
∠CED＋∠AEB=90°，
所以 ∠ABE=∠CED．
于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以
又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以
所以
解法2 如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为
∠ABE＋∠AEB＝90°，
∠FEH+∠AEB=90°，
所以 ∠ABE=∠FEH，
于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为
所以
12．(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程
有两个相等的实根，于是
(2)由(1)知，a2=a＋1，反复利用此式可得
a4=(a＋1)2=a2＋2a+1=3a+2，
a8=(3a＋2)2=9a2＋12a＋4=21a＋13，
a16=(21a+13)2=441a2＋546a＋169
＝987a＋610，
a18＝(987a＋610)(a＋1)＝987a2＋1597a＋610
=2584a＋1597．
又
因为a2-a-1=0，所以64a2-64a-65=-1，即
(8a+5)(8a-13)=-1．
所以
a18＋323a－6=2584a＋1597＋323(-8a＋13)=5796．
13．(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是
W=200x＋300x+400(18-2x)＋800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)
=-800x＋17200．
W=-800x＋17200(5≤x≤9，x是整数)．
由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．
(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别为10-x，10-y，x＋y-10．于是
W=200x+800(10-x)+300y＋700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)
=-500x-300y+17200．
W=-500x-300y+17200，
且
W=-200x-300(x+y)+17200
≥-200×10-300×18＋17200=9800．
当x=10，y=8时，W=9800，所以W的最小值为9800．又
W=-200x-300(x＋y)＋17200
≤-200×0-300×10+17200=14200，
当x=0，y=10时，W=14200，所以W的最大值为14200．
唐太宗传令点兵，若一千零一卒为一营，则剩余一人；若一千零二卒为一营，则剩余四人，此次点兵至少有多少人？？？
你好，这个连接是我见过的最好的，很全，清晰且附有答案，希望你满意哦
http://www.zhongkao.cn/hope/ 在这个网页的下面部分就有了历年真题
最后，祝你带着希望（指信念）上路，带着希望（指希望杯）回来。
.（20092009.......200910）有N个2009 能被18整除
那么N的最小值是多少？
2. A除以2009=2008.......B，要使余数B最大，则被除数A是什么？
3.1，2，3，.....，2009这2009个数中选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被46整除，那么这样的数最多能选出几个？
4.若P和Q均为质数，且35P+13Q=135则P=几，Q=几
5.2008可以表示成三个质数的和的形式，则这三个质数分别是哪三个数？
需要详细解题过程啊！
最激动人心的春季运动会，在一个风和日丽的上午开始了。同学们兴高彩烈的前来观看比赛，赛场上响起了此起彼伏的呐喊助威声。
跑步是我最喜欢的体育运动了。我代表我们班参加了60米短跑比赛，在大家的注视下，我步入了赛场，这时，我的心“怦！怦！”跳了起来。提醒我自己，千万别紧张，于是，深深吸了口气，紧张的心一下变得平静了许多。我认真地做起准备动作。压腿和弯腰是少不了的，为的是以免在比赛中受伤。这时，广播响起：“请运动员入场，比赛马上开始。”我走到起跑线前，双腿下蹲，右腿弯曲，左腿跪地。双手撑地面形成八字形，身体微微向前倾斜，眼睛目不转睛地注视着前方，耳朵仔细地倾听着发令枪响。
就在着激动人心的时刻，发令枪“怦”的一声，响彻云霄。只见运动员们你追我赶的，像箭一样的冲出了起跑线，紧接着我迈开大步向前冲，双脚有力的踏着地面。两手一前一后地摆动着像一只灵巧的燕子舒展着它那轻盈的翅膀，眼睛也聚精会神地注视着前方，不感放松。我感觉头发在微风中上下舞动着，衣服也迎着风飘了起来，像撑起一个大大地降落伞。同学们在跑道两旁不约而同地喊着，“加油！加油！”就在这时，我一挺胸，咬紧牙关一鼓作气地冲到了终点。赛场上爆发出了热烈的掌声……
我赢了！我为班级夺得了60米短跑冠军！同学们兴奋地向我表示祝贺。有的跑过来抱着我，有的向我伸着大拇指，还有的称赞我是小刘翔！此时我自己也激动地都不感相信眼前的景象。运动会不仅让我成为了班级英雄，更让我为集体作出了贡献！我爱运动会，更爱体育运动，下次我还要参加！
我喜欢打篮球
体育使生命更健康，使生活更美丽，使人类不断进步，使世界拥有和平时刻……奥林匹克精神在我们心中激荡。我酷爱运动，在众多体育项目中，我最喜欢的是打篮球。
以前，我对篮球并不喜欢，但是在一次体育课中。我对篮球产生了兴趣。那次体育课，老师把男生和女生分为两队，我们每个人都要依次投篮球，那队进球就得一分。看来我不得不参加这场比赛了，没过多久，就到我投球了，对能否把球投中，我一点信息也没有，我尽力把球扔向篮球框，想不到的球竟然进了，这使我一下变得激动起来，我没想到，真没想到自己的水平还不赖。正是因为投进了这一个球我忽然对自己有信心了，觉得篮球没什么不好玩的，以后在每一次体育课上，要是老师说："谁要打篮球或者要踢足球在我这里拿球"的话后，我就会跑到体育老师那儿拿球玩，时间长了，我觉得篮球使我生命中不可缺少的一项运动。于是我就喊着问爸爸要篮球，爸爸爽快的答应了。以后，我每天几乎都剩余的时间用来打篮球。
啊！篮球真是我生命中不可缺少的一项运动，我喜欢打篮球。 或 哐！”随着那清脆悦耳的篮球落地声，那一浪接一浪的叫喊声便又响起。真的，像所有人说的那样，只要有篮球的身影，我们便是充满激情的弄潮儿，无论是旁观者，还是场上的运动员。
起初我们初识篮球时，认为篮球运动给人无限的激情与挑战，在那撞击摩擦间透出那无限魅力。但是直到我们这次真正意义上的投篮竞技，才让我们感受到了那所谓篮球的韵味与隐藏的含义。
得分进篮，勇往直前，无所畏惧，这便是篮球，只要你拼了，搏了，即使一分未得，也能使人对你产生敬佩之心！
篮球是属于我们的运动，它显示着青春也昭示着活力，它将生命的光彩呈现得无比绚丽！篮球的精神是拼，是搏，是勇往直前，是所向披靡，是尽情展现你的激情、活力！在篮球场上，撇去自己，超越自我，爆发出潜力，充满着激情，因为这不是轻歌曼舞。吟诗作对的场所，这里没有那种“润物细无声”般的恬静，在这里有的只是无情的比赛与残酷、激烈的拼抢！而从中我们也让自己在篮球场上，找寻一个无与伦比的自我超越的空间，给予我们无限潜力去突破。上篮，投球，突破，超越，便是篮球的物语。而NBA能被热爱篮球的人所认可也正是如此，球场上的篮球明星，他们对于比赛只有一个信念就是拼到最后一刻，无论结果的输赢，依然在场中迸发出那股坚定的魄力。科比，乔丹，奥尼尔，哪一个不是即使汗水湿透了衣衫，他们亦仅是抹一抹滴下的汗水；即使已在拼抢中受到了创伤，他们仍咬紧牙关坚持着；即使比赛已进入了“垃圾时间”，他们也都不懈地在场上拼搏着，拼搏着，如飞蛾扑火，虽然明知已无希望，但凭着坚定的信念，一次又一次地做着努力……
虽然我们不是篮球运动员，需要在场中不断拼抢，不断拼搏，但是我们如他们一样，怀有满腔热情，那场不是比赛胜过比赛的投篮竞技，更是让我们感受如此，每个同学都努力为队伍争胜。篮球赛如此，而生活也大抵不过如一场球赛匆匆开始，匆匆结束，只是在于你的拼搏中。但在这场球赛中，无人问津你的投篮架势，无人记过你的疏忽，即使投错了篮，也没有反悔的机会，孤身一人的对决，而此刻战场上没有他人，对手却是自己，枯燥乏味的抢球盖帽、投篮，生活与自己的游戏也许总会缺少些许激情吧。但没关系，前方有更多的篮筐等着拥抱你的投篮！曾经有人说：不要因错过机会，而暗自难过，前面有更多机遇正在等着那些有准备的人。因此别彷徨也别犹豫，放开了，勇敢去投吧，只有投出球后，你才能收获一片喝彩！生活，学习，篮球，追求，拼搏，超越，便是我们青春的“弄潮儿”。
那么N的最小值是多少？
2. A除以2009=2008.......B，要使余数B最大，则被除数A是什么？
3.1，2，3，.....，2009这2009个数中选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被46整除，那么这样的数最多能选出几个？
4.若P和Q均为质数，且35P+13Q=135则P=几，Q=几
5.2008可以表示成三个质数的和的形式，则这三个质数分别是哪三个数？
需要详细解题过程啊！
初一数学希望杯竞赛练习卷
班级___________ 姓名 __________
一、选择题：
1、已知数轴上三点A、B、C分别表示有理数 、1、－1，那么 表示（ ）
（A）A、B两点的距离 （B）A、C两点的距离
（C）A、B两点到原点的距离之和 （D）A、C两点到原点的距离之和
2、王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只 元，稍后又买回3只羊，平均每只 元，后来他以每只 的价格把羊全部卖掉了，结果发现赔了钱，赔钱的原因是（ ）
（A） （B） （C） （D）与 、 的大小无关
3、两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（ ）
（A）273 （B）819 （C）1199 （D）1911
4、某班级共48人，春游时到杭州西湖划船，每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐5
人，租金24元，则该班至少要花租金（ ）
（A）188元 （B）192元 （C）232元 （D）240元
5、已知三角形的周长是 ，其中一边是另一边2倍，则三角形的最小边的范围是（ ）
（A） 与 之间 （B） 与 之间 （C） 与 之间 （D） 与 之间
6、两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的容积之比为 :1，另一个瓶子中酒精与水的容积之比是 :1，把两瓶溶液混在一起，混合液中酒精与水的容积之比是( ）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题：
7、已知 ， ， ，且 ＞ ＞ ，则 ＝ ；
8、设多项式 ，已知当 ＝0时， ；当 时， ，
则当 时， ＝ ；
9、将正偶数按下表排列成5列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第一行 2 4 6 8
第二行 16 14 12 10
第三行 18 20 22 24
第四行 32 30 28 26
…… … … … …
根据表中的规律，偶数2004应排在第 行，第 列；
10、甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是__________米；
11、有人问李老师：“你班里有多少学生？”，李老师说：“我班现在有一半学生在参加数学竞赛，四分之一的学生在参加音乐兴趣小组，七分之一的学生在阅览室，还剩三个女同学在看电视”。则李老师班里学生的人数是 ；
12、如图，B、C、D依次是线段AE上三点，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，则图中以A、B、C、D、E这五个点为端点的所有线段长度之和等于 。
13、某个体服装经销商先以每3件160元的价钱购进一批童装，又以每4件210元的价钱购进比上一次多一倍的童装. 他想把这两批童装全部转手，并从中获利20%，那么，他需要以每3件______元出手。
14、已知x、y满足 ，则代数式 的值为________。
15、已知12 + 22 +32 +……+ n2 = 16 n(n+1)(2n+1)，则22 + 42 +62 +……+1002 =________。
三、解答题：
16、求不等式 的整数解。
17、钟表在12点时三针重合，问经过多少分钟秒针第一次将分针和时针的夹角（指
锐角）平分？（用分数表示）
18、甲、乙两人沿着圆形跑道匀速跑步，他们分别从直径AB两端同时反向起跑第一次相遇时离A点100米，第二次相遇时离B点60米，求圆形跑道的总长。
19、五个整数a、b、c、d、e，它们两两相加的和按从小到大顺序排分别是183，186，187，190，191，192，193，194，196，x。已知a<b<c<d<e, x>196.
（1） 求a、b、c、d、e和x的值；
（2） 若y=10x+4，求y的值。
“希望杯”数学邀请赛培训题1
一．选择题（以下每题的四个选择支中，仅有一个是正确的）
1．－7的绝对值是（ ）
（A）－7 （B）7 （C）－1/7 （D）1/7
2．1999－ 的值等于（ ）
（A）－2001 （B）1997 （C）2001 （D）1999
3．下面有4个命题：
①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。
②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。
③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。
④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。
其中正确的命题是：（ ）
（A）①和② （B）②和③
（C）③和④ （D）④和①
4.4ab c 的同类项是（ ）
（A）4bc a （B）4ca b （C） ac b （D） ac b
5．某工厂七月份生产某产品的产量比六月份减少了20％，若八月份产品要达到六月份的产量，则八月份的产量比七月份要增加（ ）
（A）20％ （B）25％ （C）80％ （D）75％
6． ， ， ， 四个数中，与 的差的绝对值最小的数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．如果x=― , Y=0.5,那么X ―Y ―¬¬¬¬¬¬¬2X的值是( )
(A)0 (B) (C) (D) ―
8.ax+b=0和mx+n=0关于未知数x的同解方程，则有（ ）
（A）a +m >0. （B）mb≥an.
（C）mb≤an. （D）mb=an.
9．（－1）＋（－1）－（－1）×（－1）÷（－1）的结果是（ ）
（A）－1 （B）1 （C）0 （D）2
10．下列运算中，错误的是（ ）
（A）2X ＋3X ＝5X （B）2X －3X ＝－1
（C）2X •3X ＝6X （D）2X ÷4X ＝
11．已知a<0,化简 ，得( )
(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) －2
12．计算（－1） ＋（－1） ÷|－1|的结果是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）2
13．下列式子中，正确的是（ ）
（A）a •a =a . （B）(x ) =x .
（C）3 =9. （D）3b•3c=9bc.
14.－|－3|的相反数的负倒数是（ ）
（A）－ （B） （C）－3 （D）3
15．十月一日亲朋聚会，小明统计大家的平均年龄恰是38岁，老爷爷说，两年前的十月一日也是这些人相聚，那么两年前相聚时大家的平均年龄是（ ）岁。
（A）38 （B）37 （C）36 （D）35
16．若a<0,则4a+7|a|等于( )
(A) 11a (B)－11a (C) －3a (D)3a
17．若有理数x. y满足|2x-1|+(y+2) ＝0，则x. y的值等于（ ）
（A）－1 （B）1 （C）－2 （D）2
18．有理数a, b, c在数轴上对应的点如图所示：则下面式子中正确的是（ ）
（A）c + b > a + b. (C)ac > ab
(B)cb < ab. (D) cb > ab
19．不等式 < 1的正整数解有（ ）个。
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
20．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且完成该任务后才能执行下一项任务，现有U，V，W的时间分别为10秒，2分和15分，一项任务的相对等待时间为提交任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比，则下面四种执行顺序中使三项任务相对等候时间之和最小的执行是（ ）。
（A）U，V，W． （B）V，W，U
（C）W，U，V． （D）U，W，V
21．如图，线段AD，AB，BC和EF的长分别为1，8，3，2，5和2，记闭合折线AEBCFD的面积为S，则下面四个选择中正确的是（ ）
(A) S=7.5 (B) S=5.4
(C) 5.4<S<7.5 (D)4<S<5.4.
22．第一届希望杯的参赛人数是11万，第十届为148万，则第届参赛人数的平均增长率最接近的数值是（ ）。
（A）21.8%. (B) 33.5% (C)45% (D) 50%
23．已知 X和YI满足3X＋4Y＝2，X－Y<1，则（ ）。
（A） （B） （C） (D)
24．下面的四句话中正确的是（ ）
A．正整数a和b的最大公约数大于等于a。
B．正整数a和b的最小公倍数大于等于ab。
C．正整数a和b的最大公约数小于等于a。
D．正整数a和b的公倍数大于等于ab。
25．已知a≤2，b≥－3，c≤5,且a－b＋c＝10，则a＋b＋c的值等于（ ）。
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
“希望杯”数学邀请赛培训题2
26． 的相反数除－6的绝对值所得的结果是＿＿＿。
27．用科学记数法表示：890000＝＿＿＿＿。
28．用四舍五入法，把1999.509取近似值（精确到个位），得到的近似数是＿＿。
29．已知两个有理数－12.43和－12.45。那么，其中的大数减小数所得的差是＿＿。
30．已知 与 是同类项，则 ＝＿＿。
31． 的负倒数与－|4|的倒数之和等于＿＿。
32．近似数0，1990的有效数字是＿＿。
33．甲、乙、丙、丁四个数之和等于－90，甲数减－4，乙数加－4，丙数乘－4，丁数除－4彼比相等，则四个数中的最大的一个数比最小的一个数大＿＿。
34．已知式子 ＋□＝ ，则□中应填的数是＿＿。
35．（ ÷ ）÷ ＿＿＿。
36．已知角a的补角等于角a的3.5倍，则角a等于＿＿度。
37．已知方程（1.9x－1.1）－（ ）＝0.9（3 x－1）＋0.1，则解得x的值是＿。
38．甲楼比丙楼高24.5米, 乙楼比丙楼高15.6米, 则乙楼比甲楼低___米.
39．如图，四个小三角形中所填四个数之和等于零，则这四个数绝对值之和等于＿＿。
40．关于x的方程3mx＋7＝0和2 x＋3n＝0是同解方程，那么
x－2y=1999
41．方程组 的解是＿＿＿。
2x－y=2000
42．小明骑车自甲地经乙地，先上坡后下坡，到达乙地后立即返回甲地，共用34分钟，已知上坡速度是400米／分，下坡速度是450米／分，则甲地到乙地的路程是＿＿米。
43．父亲比小明大24岁，并且1998年的年龄是小明2000年年龄的3倍，则小明1999年时的年龄是＿＿岁。
44．已知 和 是同类项，则 ＿＿＿。
45． ，并且 ＝ 。则
46． 都是二位的正整楼，已知它们的最小公倍数是385，则 的最大值是＿＿。
47．甲瓶食盐水浓度为8％，乙瓶食盐水浓度为12％，两瓶食盐水共重1000克，把甲、乙两瓶食盐后的浓度是10.08％，则甲瓶食盐水重＿＿＿克。
48．如图所示的五角星形中共可数出＿＿个三角形。
49．已知 则 =_____。
50．已知数串1，1，2，3，5，8，13，……，从第3个数起每个数都等于它前面相邻的两个数之和，那么，数串中第1999个数被3除所得的余数是＿。
“希望杯”数学邀请赛培训题3
51．将一个长为 ，宽为 的矩形分为六个相同的小矩形，
然后在矩形中画出形如字母M的图形，记字母M的
图形面积为S，则S＝＿＿。
52．有理数－3，＋8，－ ，0.1，0， ，－10.5，－0.4中，所有正数的和填在下式的〇中，所有负数的和填在正式下式的□中，并计算出下式的结果填在等号左边的横线上。 〇÷□＝＿＿。
53．填数计算：〇中填入最小的自然数，△中填入最小的非负数，□中填入不小于－5且小于3的整数的个数，将下式的计算结果写在等号右边的横线上。（〇＋□）×△＝＿＿。
54．从集合 中取出三个不同的数，可能得到的最大乘积填在□中，可－能得到的最小乘积填在〇中并将下式计算的结果写在等号右边的横线上。－（－□）÷〇＝＿＿。
55．计算：
56．有这样一个衡量体重是否正常的简单算法。一个男生的标准体重（以公斤为单位）是其身高（以厘米为单位）减去110。正常体重在标准体重减标准体重的10％和加标准体重的10之间。已知甲同学身高161厘米，体重为W，如果他的体重正常，则W的公斤数的取值范围是_____.
57．若A是有理数，则 的最小值是＿＿＿.
58．计算：
.
59．有理数 在数轴上的位置如图所示，化简
60．X是有理数，则 的最小值是_____.
61．如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的
中点，已知图中所有线段的长度之和为23，
则线段AC的长度为_____.
62．设 和 为非负整数，已知 和 的最小公倍数为36，
63．甲、乙同在一百米起跑线处，甲留在原地未动，乙则以每秒7米的速度跑向百米终点，5秒后甲听到乙的叫声，看到乙跌倒在地，已知声音的传播速度是每秒340米，这时乙已经跑了_____.米（精确到个位）
64．现有一个代数式 时该
数式的值为 时该代数式的值为 则
65．如图，一个面积为50平方厘米的正方形与另
一个小正方形并排放在一下起，则 的
面积是＿＿平方厘米。
66．在六位数25 52中 皆是大于7的数码，这个六位数被11整除，那么，四位数 。
67．今有1分，2分和5分的硬币共计15枚，共值5角2分，则三种硬币个数的乘积是＿＿＿。
68．数学小组中男孩子数大于小组总人数的40％小于50％，则这个数学小组的成员至少有＿＿＿人。
69．用三个数码1和三个数码2可以组成＿＿个不同的四位数。
70．在三位数中，百位比十位小，并且十位比个位小的数共有＿＿个。
71．在100--1999这一千九百个自然数中，十位与个位数字相同的共有＿＿个。
72，有人问毕达哥拉斯，他的学校中有多少学生，他回答说：“一半学生学数学，四分之一学音乐，七分之一正休息，还剩三个女学生。”问毕达哥拉斯的学校中有多少学生？
答：毕达哥拉斯的学校中有＿＿个学生。
73．丢番图（二世纪时希腊数学家）的基碑上的墓志铭记载：“哲人丢番图，在此处埋葬，寿命相当长，六分之一是童年，十二分之一是少年，又过了生命的七分之一，娶了新娘，五年后生了个儿郎，不幸儿子只活了父亲寿命的一半，先父四年亡，丢番图到底寿多长？”
答：丢番图的寿命是＿＿岁。
74．有人问某儿童，有几个兄弟、有几个姐妹，他回答说：“有几个兄弟，就有几个姐妹。”再问他妹妹，有几个兄弟、几个姐妹，她回答说：“我的兄弟是姐妹的两倍。”问他们兄弟、姐妹各几人？
答：他们有兄弟＿＿人，姐妹＿＿人。
75．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的罗数等于我今年岁数的一半，当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁。”两人现年各多少岁？答：甲现年＿＿岁，乙现年＿＿。
“希望杯”数学邀请赛培训题4
解答题
76．一辆公共汽车由起点站到终点站（含起点站与终点站在内）共行驶8个车站。已知前6个车站共上车100人，除终点站外共下车总计80人，问从前6站上车而在终点下车的乘客共有多少人？
77．已知代数式 ，当 时的值分别为1－，2，2，而且 不等于0，问当 时该代数式的值是多少？
78．如图，在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？
79．有理数 均不为0，且 设 试求代数式 2000之值。
80．已知 为整数， 如果 ，请你证明： 。
2000年全国初中数学竞赛试题解答
一、选择题（只有一个结论正确）
1、设 的平均数为M， 的平均数为N，N， 的平均数为P，若 ，则M与P的大小关系是（ ）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
答：（B）。∵M＝ ，N＝ ，P＝ ，M－P＝ ，∵ ，∴ ＞ ，即M－P＞0，即M＞P。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了 千米，休息了一段时间，又原路返回 千米（ ），再前进 千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）。
答：（C）。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
答：（A）。由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线 平行，与 轴、 轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
答：（B）。在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是 ＝－1＋4N， ＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴ ≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。
5、设 分别是△ABC的三边的长，且 ，则它的内角∠A、∠B的关系是（ ）。
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。
答：（B）。由 得 ，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝ ，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6、已知△ABC的三边长分别为 ，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为 ，面积为S1，且 ，则S与S1的大小关系一定是（ ）。
（A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。
答：（D）。分别构造△ABC与△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1，显然 ，即S＞S1；②设 ，则 ，S＝10， ，则S1＝ ×100＞10，即S＜S1；③设 ，则 ，S＝10， ，则 ，S1＝10，即S＝S1；因此，S与S1的大小关系不确定。
二、填空题
7、已知： ，那么 ＝________。
答：1。∵ ，即 。∴
。
8、如图，在梯形ABCD中，AB‖DC，AB＝8，BC＝6 ，∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD的面积等于________。
答：66＋6 （平方单位）。作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由BC＝6 ，∠BCD＝45°，得AE＝BF＝FC＝6。由∠BAD＝120°，得∠DAE＝30°，因为AE＝6得DE＝2 ，AB＝EF＝8，DC＝2 ＋8＋6＝14＋2 ，∴ 。
9、已知关于 的方程 的根都是整数，那么符合条件的整数有________个。
答：5。①当 时， ；②当 时，易知 是方程的一个整数根，再由 且 是整数，知 ，∴ ；由①、②得符合条件的整数 有5个。
10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。
答：2.4米。作PQ⊥BD于Q，设BQ＝ 米，QD＝ 米，PQ＝ 米，由AB‖PQ‖CD，得 及 ，两式相加得 ，由此得 米。即点P离地面的高度为2.4米。（注：由上述解法知，AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。）
11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线 恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么 ＝________。
答： 。直线 通过点D（15，5），故BD＝1。当 时，直线 通过 ， 两点，则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。
12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________。
（注： ×100％）
答：17％。设原进价为 元，销售价为 元，那么按原进价销售的利润率为 ×100％，原进价降低6.4％后，在销售时的利润率为 ×100％，依题意得：
×100％＋8％＝ ×100％，解得 ＝1.17 ，故这种商品原来的利润率为 ×100％＝17％。
三、解答题
13、设 是不小于 的实数，使得关于 的方程 有两个不相等的实数根 。
（1）若 ，求 的值。
（2）求 的最大值。
解：因为方程有两个不相等的实数根，所以
，∴ 。根据题设，有 。
（1）因为
，即 。
由于 ，故 。
（2）
。
设 上是递减的，所以当 时， 取最大值10。故 的最大值为10。
14、如上图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝ AE，且BD＝2 ，求四边形ABCD的面积。
解：由题设得AB2＝2AE2＝AE•AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD。连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝ 。
∴OH＝ ＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1。
∴ ，∵E是AC的中点，∴ ，
，∴ ，∴ 。
15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）
解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。
对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼， 。交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：
设电梯停在第 层。
①当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为 。
②当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为 。
③当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为 ，前者比后者多 。
④当 时，若住第层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为 ，前者比后者多 。
⑤当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为 ，前者比后者多 。
今设电梯停在第 层，在第一层有 人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：
当 ＝27， ＝6时， ＝316。
所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分
1999年全国初中数学联合竞赛试卷
第一试 （4月4日上午8:30--9:30）
考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。全卷满分70分。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。
1、计算 的值是（ ）。
（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。
2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ ）。
（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。
3、设 ，将一次函数 与 的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）。
4、若函数 ，则当自变量 取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（ ）。
（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。
5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB‖DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（ ）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。
6、有下列三个命题：（甲）若 是不相等的无理数，则 是无理数；（乙）若 是不相等的无理数，则 是无理数；（丙）若 是不相等的无理数，则 是无理数。其中正确命题的个数是（ ）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。
1、已知 且 ，则 ＝________。
2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于________。
3、已知 为整数，且满足 ，则 ＝________。
4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝________。
=============== =============== ===============
第二试 （4月4日上午10:00--11:30）
考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分。
一、（本题满分20分）
某班参加一次智力竞赛，共 三题，每题或者得满分或者得0分。其中题 满分20分，题 、题 满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题 的人数与答对题 的人数之和为29，答对题 的人数与答对题 的人数之和为25，答对题 的人数与答对题 的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？
二、（本题满分25分）
如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。已知圆过点C且与AC相交于F，与AN相切于AB的中点G。求证：AD⊥BF。
三、（本题满分25分）
已知 为整数，方程 的两根都大于－1且小于0，求 和 的值。
=============== =============== ===============
第一试参考答案
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。
1、计算 的值是（ D ）。
（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。
解：原式＝ 。
2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ C ）。
（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。
解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，已知周长是24，则AC＋BC＝14，AC2＋BC2＝102。∴2AC×BC＝（AC＋BC）2－（AC2＋BC2）＝142－102＝4×24。∴ 。
3、设 ，将一次函数 与 的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ B ）。
解：由方程组 的解知两直线的交点为 ，而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于 ，小于 的数，不等于 ，故图D不对；故选B。
4、若函数 ，则当自变量 取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（ B ）。
（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。
解： 当 时， 。∴当自变量 取2、3、…、98时，函数值都为0。而当 取1、99、100时， ，故所求的和为：
。
5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB‖DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（ C ）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。
解：AD的中点M对BC张成90°角，又在AD上取点N使AN＝998，则ND＝1001。由△ABN和△DCN都为等腰三角形推知∠BNC＝90°，注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点，可知所求点的个数为2。
6、有下列三个命题：（甲）若 是不相等的无理数，则 是无理数；（乙）若 是不相等的无理数，则 是无理数；（丙）若 是不相等的无理数，则 是无理数。其中正确命题的个数是（ A ）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。
解： ，只要令 ， ，则 为有理数，故（甲）不对；又若令 ， ，则 为有理数，故（乙）不对；又若令 ，则 为有理数，故（丙）不对；故正确命题个数是0，应选（A）。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。
1、已知 且 ，则 ＝ 2 。
解： ，即 ， ， ，
， ， 。
2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于 44° 。
解：∵∠B＝36°，∠ACB＝128°，AM为∠CAB的平分线，∴∠CAM＝∠MAB＝ ，∵∠AMC＝44°。又AN为切线，∴∠NAC＝∠B＝36°，∠NAM＝44°，∴∠N＝180°－44°－44°＝92°，∴△ANM的最小角为44°。
3、已知 为整数，且满足 ，则 ＝ 3 。
解：左边＝ ，即 ， ，而 为整数，且不相等， 只可能取值 或 。不妨设 ，则 ，或 ，∵（2）无整数解，由（1）得 ， 。
4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝ 。
解：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则△BAM∽△TOB，∴
，即 。令DN＝1，CT＝MD＝ ，则AM＝ ，BM＝ ，BT＝ ，代入（1）式得 ，注意到 ，解得 。
=============== =============== ===============
第二试参考答案
一、（本题满分20分）
某班参加一次智力竞赛，共 三题，每题或者得满分或者得0分。其中题 满分20分，题 、题 满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题 的人数与答对题 的人数之和为29，答对题 的人数与答对题 的人数之和为25，答对题 的人数与答对题 的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？
解：设 分别表示答对题 、题 、题 的人数，则有 ， ， ，∴答对一题的人数为37－1×3－2×15＝4，全班人数为1＋4＋15＝20，∴平均成绩为 。
答：班平均成绩为42分。
二、（本题满分25分）
如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。已知圆过点C且与AC相交于F，与AN相切于AB的中点G。求证：AD⊥BF。
证：作DE⊥AC于E，则AC＝ AE，AG＝ ED。由切割线定理有：AG2＝AF•AC，
∴ ED2＝AF• AE，∴5ED2＝AF•AE，∴AB•ED＝AF•AE，∴ ，∴△BAF∽△AED，∴∠ABF＝∠EAD，而∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠ABF＋∠DAB＝90°，∴AD⊥BF。
三、（本题满分25分）
已知 为整数，方程 的两根都大于－1且小于0，求 和 的值。
解：根据函数 的图象和题设条件知：当 时， ，∴ …①；当 时， ，∴ …②。抛物线顶点的横坐标 满足 ，∴ …③。
∵ ，即 ，∴ …④，由①、③、④得 ，若 ，则由②、④得 且 ，得 ；
若 ，则 且 ，无整数解；
若 ，则 且 ，无整数解；
若 ，则 且 ，无整数解；故所求 的值为 。
1998年全国初中数学竞赛试题及解答
一、选择题(本题共5小题，每小题6分，满分30分)
1．已知a，b，c都是实数，并且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ]
A．ab＞bc
B．a+b＞b+c
C．a-b＞b-c
2．如果方程x2+px+1=0(p＞0)的两根之差为1，那么p等于[ ]
A．2 B．4
3．在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于 [ ]
A．12 B．14
C．16 D．18
一定通过 [ ]
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
个不等式组的整数a，b的有序数对(a，b)共有 [ ]
A．17个 B．64个
C．72个 D．81个
二、填空题(本题共5小题，每小题6分，满分30分)
6．在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F分别是垂足，那么PE+PF=____．
7．已知直线y=-2x＋3与抛物线y=x2相交于A，B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于____．
8．已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为____厘米．
9．已知关于x的方程
a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15＝0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根，那么a=____．
航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A，B两船的最近距离是____千米．
三、解答题(本题共3小题，每小题20分，满分60分)
11．在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积．
(1)求a的值；
(2)求a18+323a-6的值．
13．A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台．现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台．已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费分别为400元和500元．
(1)设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费W(元)关于x(台)的函数式，并求W的最小值和最大值；
(2)设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用x，y表示总运费W(元)，并求W的最小值和最大值．
解 答
1．根据不等式性质，选B．．
2．由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1．又由
(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2，
3．如图3－271，连ED，则
又因为DE是△ABC两边中点连线，所以
故选C．
4．由条件得
三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0．
当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限．
y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．
综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，
的可以区间，如图3－272．
+1，3×8＋2，3×8＋3，……3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．
6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所
7．如图3-274，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)．作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，所以
8．如图3－275，当圆环为3个时，链长为
当圆环为50个时，链长为
9．因为a≠0，解得
故a可取1，3或5．
10．如图3－276，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，
A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，
所以
11．解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为
∠ABE＋∠AEB=90°，
∠CED＋∠AEB=90°，
所以 ∠ABE=∠CED．
于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以
又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以
所以
解法2 如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为
∠ABE＋∠AEB＝90°，
∠FEH+∠AEB=90°，
所以 ∠ABE=∠FEH，
于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为
所以
12．(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程
有两个相等的实根，于是
(2)由(1)知，a2=a＋1，反复利用此式可得
a4=(a＋1)2=a2＋2a+1=3a+2，
a8=(3a＋2)2=9a2＋12a＋4=21a＋13，
a16=(21a+13)2=441a2＋546a＋169
＝987a＋610，
a18＝(987a＋610)(a＋1)＝987a2＋1597a＋610
=2584a＋1597．
又
因为a2-a-1=0，所以64a2-64a-65=-1，即
(8a+5)(8a-13)=-1．
所以
a18＋323a－6=2584a＋1597＋323(-8a＋13)=5796．
13．(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是
W=200x＋300x+400(18-2x)＋800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)
=-800x＋17200．
W=-800x＋17200(5≤x≤9，x是整数)．
由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．
(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别为10-x，10-y，x＋y-10．于是
W=200x+800(10-x)+300y＋700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)
=-500x-300y+17200．
W=-500x-300y+17200，
且
W=-200x-300(x+y)+17200
≥-200×10-300×18＋17200=9800．
当x=10，y=8时，W=9800，所以W的最小值为9800．又
W=-200x-300(x＋y)＋17200
≤-200×0-300×10+17200=14200，
当x=0，y=10时，W=14200，所以W的最大值为14200．
唐太宗传令点兵，若一千零一卒为一营，则剩余一人；若一千零二卒为一营，则剩余四人，此次点兵至少有多少人？？？
你好，这个连接是我见过的最好的，很全，清晰且附有答案，希望你满意哦
http://www.zhongkao.cn/hope/ 在这个网页的下面部分就有了历年真题
最后，祝你带着希望（指信念）上路，带着希望（指希望杯）回来。
.（20092009.......200910）有N个2009 能被18整除
那么N的最小值是多少？
2. A除以2009=2008.......B，要使余数B最大，则被除数A是什么？
3.1，2，3，.....，2009这2009个数中选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被46整除，那么这样的数最多能选出几个？
4.若P和Q均为质数，且35P+13Q=135则P=几，Q=几
5.2008可以表示成三个质数的和的形式，则这三个质数分别是哪三个数？
需要详细解题过程啊！
谁有希望杯初一难题,越难越好。为决赛冠军努力!
答：20.某计算机系统在同一时间只能执行一项任务,且完成该任务后才能执行下一项任务,现有U,V,W的时间分别为10秒,2分和15分,一项任务的相对等待时间为提交任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比,则下面四种执行顺序中使三...
初一希望杯数学题,请写过程,有追加
答：12、如图，B、C、D依次是线段AE上三点，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，则图中以A、B、C、D、E这五个点为端点的所有线段长度之和等于 。13、某个体服装经销商先以每3件160元的价钱购进一批童装，又以每4件210元的价钱...
出几道希望杯奥数题,越难越好,和分析。有追加!
答：基础题。(60分）1.两根通长的钢管，第一根截断24厘米，第二根截断8厘米。则第二根是第一根长度的3倍。求两根钢管的长度。2.养畜专业户圈养兔子和鸡，总共有86只头，246根腿。问多少只鸡，多少只兔子。3.刘明每天早...
希望杯23届初一试题
答：5、有理数的大小关系如图2所示，则下列式子中一定成立的是 （A）＞0 （B）＜ （C） （D）＞ 6、某动物园有老虎和狮子，老虎的数量是狮子的2倍。每只老虎每天吃肉4.5千克，每只狮子每天吃肉3.5千克，那么该...
希望杯数学竞赛初一初赛试题
答：“希望杯”数学邀请赛培训题3 51.将一个长为 ,宽为 的矩形分为六个相同的小矩形, 然后在矩形中画出形如字母M的图形,记字母M的 图形面积为S,则S=__。 52.有理数-3,+8,-,0.1,0, ,-10.5,-0.4中,所有正数的和填在下...
第十六届希望杯全国数学邀请赛 初一 第一试 第9,19,25题怎么做(求试题...
答：17.如图5,A、B是网格中的两个格点,点C也是网格中的一个格点,连结AB、BC、AC,当ΔABC为等腰三角形时,格点C的不同位置有 处,设网格中的每个小正方形的边长为1,则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于 .18.某中学的课外...
第二十二届希望杯初一试题第七题怎么解
答：选D 原式可化为-2bx-10=a+x 其中a,b为定值，即x无论为何值，等式恒成立 令x=0,得a=-10 令x=-a=10 得2ab=10 因为a=-10 所以b=-1/2 故a²-b²=100-0.25=99.75 ...
我有一道希望杯初一的数学题不会做,你能帮我吗?
答：不能．理由如下：（1）将“希、望、杯、数、学、竞、赛、题”八个字编号，分别是1、2、3、4、5、6、7、8，则图（a）变为图（c），调整汉字就是调整这些数字．（2）将3×3网格中的数字从左至右、从上往下排...
初一希望杯答案 第二试
答：第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一 第2试 一、选择题(每小题4分，共40分．)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内．1．a和b是满足ab≠0的有理数，现有...
急需2007年的初一希望杯数学竞赛题
答：第十七届“希望杯”全国数学邀请赛节选2006-07-26 15:36初一 第1试 2006年3月19日星期日 上午8：30至10：00 校名： 班 考号 姓名 辅导教师 成绩 一、选择题 1.在数轴上，点A对应的数是－2006，点B对应的数是＋...