已知点A(-根号3,0)B(根号3,0),动点C到两点A,B的距离之比PA/PB=2,求P的轨迹方程

A(-√3,0),B(√3,0)
PA/PB=2
PA=2PB
P(x,y)
√[(x+√3)^2+y^2]=2√[(x-√3)^2+y^2]
(x-5/√3)^2+y^2=16/3

AB=2√3
s△ABB=AB*|y|/2=√3y
x=5/√3,|y|最大=r=4/√3
可知P(5/√3,4/√3),或者P((5/√3,-4/√3)
s△ABB最大=4

第一个问题：
设点P的坐标为（x，y），则：
｜PA｜＝√［（x－1）^2＋y^2］、｜PB｜＝√［（x－3）^2＋（y－2）^2］。
依题意，有：｜PA｜＝√2｜PB｜，∴｜PA｜^2＝2｜PB｜^2，
∴（x－1）^2＋y^2＝2（x－3）^2＋2（y－2）^2，
∴x^2－2x＋1＋y^2＝2x^2－12x＋18＋2y^2－8y＋8，
∴x^2－14x＋y^2－8y＋25＝0，∴（x－7）^2＋（y－4）^2＝40。
∴动点P的轨迹方程是圆（x－7）^2＋（y－4）^2＝40。

第二个问题：
设圆（x－7）^2＋（y－4）^2＝40的圆心为C（7，4），令AB的中点为D，则：CD⊥AB。
由点到直线的距离公式，有：｜CD｜＝｜2×7－4－1｜/√（4＋1）＝9/√5。
显然有：｜AC｜＝√40。
∴由勾股定理，有：｜AD｜^2＋｜CD｜^2＝｜AC｜^2，
∴｜AD｜^2＝40－81/5＝119/5，∴｜AD｜＝√（119/5）＝√590/5，
∴｜AB｜＝2｜AD｜＝2√590/5。
∴线段AB的长是 2√590/5。

设P点的坐标为(x,y)
则有：|PA|=sqrt((x+1)(^2)+(y^2)) ，|PB|=sqrt(((x-1)^2)+((y-1)^2))
因为(|PA|/|PB|)=sqrt(2) 所以 (|PA|^2) = 2(|PB|^2)
即：(x+1)(^2)+(y^2)=2[((x-1)^2)+((y-1)^2)]
化简得：((x-3)^2)+((y-2)^2)=10
所以P点轨迹C的方程为：((x-3)^2)+((y-2)^2)=10
注：sqrt代表开方运算

P(x,y)
则PA²*PB²=2
所以[(x+1)²+y²][(x-1)²+(y-1)²]=2
(x²-1)²+(xy-x+y-1)²+(xy-y)²+(y²-y)²=2
x^4+2x²y²+y^4-2y³-2x²y-x²-4xy+3y²+2x-2y=0

解：设P点坐标为P(x,y)，则根据两点间距离公式，有
(x+1)^2+y^2=2[(x-1)^2+(y-1)^2]
简化，得
-x^2+6x+1=(y-2)^2
进一步，得
y-2=根号(-x^2+6x+1)
于是，有
y=根号(-x^2+6x+1)+2
这就是点P的轨迹方程

说明：以上^2表示平方，书写时请改过来

3L正确。

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